高中生到熟女都在問一元三/四次方程式怎麼解
註:medium目前不支援latex(雖然我也不太會用), 所以數學式我不會寫太多, 而且都會用daum equation editor輸出成圖片貼上. 所以字體有大有小, 就隨便啦. 另外二次根號內若為負, 這裡定義開出來是純虛數.
通常遇到要解這個都是算matrix eigenvalue, 偶爾會有其他劇情.
國中學過一元一次方程式怎麼解.
也學過一元二次方程式怎麼解.
最初因式分解, 後來配方法, 最後把配方法結果記下來變公式解.
解方程式最希望可以一眼看出來全部答案.
看是要水晶球, 看隔壁, 或著用photomath app(滿好用的).
退而求其次, 計算過程愈少愈好.
一眼看不出全部答案, 能看出一部分也好.
所以大原則都是能因式分解就先分解, 包含使用一次因式檢驗法.
老師…這裡不可以…
不能因式分解（至少看不出來）也驗不出任何可能的有理根, 怎麼辦?
回想一下一元二次怎麼做的.
用配方法實驗看看. 只是這次要配成完全立方, 有點難.
照著三次方展開的樣子硬配, 可以看到醜陋的人性.
其實配出第一個立方項後, 後面長怎樣暫時也不太重要了.
解這個的方法等同於解下面這個形態的方程式
再次注意到三次方展開的樣子, 重新整理一下.
如果
則比對係數得到
最後一式是u³ 的二次方程, 解出任意一個u就可以得到一個對應的v,
然後x就找到一個解了, 接著用多項式除法就可以降到二次, 解了.
為什麼猜的到x = u + v?
回想一元二次方程, 解經常包含有根號部分與無根號部分
合理猜測一元三次方程解可能也有類似的型態, 但並不對u, v做任何限制.
當然也可能是一元三次方程式公式解-卡丹公式的發明人夢到的.
強烈建議不要用卡丹公式解一元三次方程, 快不了多少, 而且可能會讓漂亮的解變的醜陋, 譬如下面這個一元三次方程式, 用一下卡丹.
解出來是兩個三次根號相加的實數, 畫面太美.
但是可以簡單看出
實數解只有x = 1, amazing!
一堆符號很複雜
概念就是
平移消除平方項係數
x = u + v 解輔助方程
解出一個就可以降次, 答案就出來了.
或許也可以看看下面這篇
來到一元四次方程的世界
目標依然是希望可以一眼看出全部解, 不然因式分解也可以.
但人性總是醜陋的, 你問…不對, 他書名我記錯了, 本來以為是醜陋的人性.
先對前三項配方法試試.
如果右邊三項可以配成完全平方, 那麼整個整個方程式就可以利用平方差因式分解成兩個一元二次方程相乘, 當然事情普遍沒有那麼美好, 幸運的是這邊動點手腳就可以達成目標.
希望右邊可以配成完全平方式, 則對x來說的一元二次式, 判別式為0
如此可以得到k的一元三次方程式, 算出一個順眼的k, 就可以解出x了.
一堆符號很複雜
對前三項配方, 其他丟右邊.
引進新變數k, 想辦法讓左右都能配成完全平方.
平方差因式分解.
也有公式解, 應該叫法拉利. 基本上就算要手解也用不到.
手算很累
那就看隔壁的. 也不要叫我算.
如果你要用python算解析解的話, 用sympy.
>>>from sympy import *
>>>x = symbols('x')
>>>solve((x ** 3) + x - 2, x)
[1, -1/2 - sqrt(7)*I/2, -1/2 + sqrt(7)*I/2]不過如果不是要把解傳到其他程式用, 我會丟給photomath試試.
這篇很久以前我在ptt math寫過, 但已經找不到, 最近又有各種人問, 重寫一次做個紀錄.
tex code here:
