Hvordan matematikkutdannelsen ved Universitetet i Oslo er revet i stykker
Eirik Kvalheim
551

I sitt åpne brev til Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, går Eirik Kvalheim løs på vår matematikkutdannelse fra mange vinkler. Jeg er glad for at det blir diskusjon rundt undervisningen vår, for uten innspill fra studentene er det vanskelig å gjøre den bedre, men jeg synes likevel artikkelen bommer på vesentlige punkter. Siden jeg som underviser, lærebokforfatter og (tidligere) utdanningsleder sikkert er en av dem som har størst skyld for at ting er som de er, føler jeg behov for å ta til motmæle på en del punkter.

Overskriften: Som overskrift har Kvalheim valgt ”Hvordan matematikkutdannelsen ved Universitetet i Oslo er revet i stykker”. Dette mer enn antyder at utdannelsen var bedre før, men på de punktene Kvalheim er mest opptatt av (metoder/anvendelser kontra teori/kreativitet), kan jeg ikke se store variasjoner over den perioden jeg har førstehånds kjennskap til, det vil si de siste 45 årene. Utdannelsen har endret seg på andre måter, spesielt ved at programmering og beregninger har fått en mye mer sentral plass, men når det gjelder balansen mellom teori og anvendelser, tror jeg vi ligger på et mellomnivå — litt mer anvendt enn på 70-tallet, og litt mer teoretisk enn på 80-tallet og begynnelsen av 90-tallet. Går vi helt tilbake til 60-tallet, finner vi sikkert en begynnerundervisning som var en god del mer teoretisk enn den er nå, men da var også rekrutteringssituasjonen til studiene en helt annen.

Økonomi: Økonomi er viktig i vår virksomhet som i all annen, men jeg har aldri opplevd et ”jag etter å øke instituttets økonomi” slik Kvalheim skriver. Våre økonomibetraktninger på utdanningssiden er stort sett av en annen type og handler om å balansere de ressursene vi har, mot de oppgavene vi har. Matematisk institutt har litt over femti ansatt i faste, vitenskapelige stillinger, og med dette skal vi dekke alle forelesninger i matematikk, mekanikk og statistikk på bachelor-, master- og doktorgradsnivå, og i tillegg drive en del serviceundervisning for andre institutter. Dette betyr at vi må tenke oss godt om før vi setter i gang nye studietilbud, og at vi må samordne de tilbudene vi har, så godt det lar seg gjøre. Derfor er våre begynnerkurs rettet mot et bredt spekter av studenter som har sine hovedinteresser innenfor såpass forskjellige fag som matematikk, fysikk, geofag, elektronikk, materialvitenskap, robotikk og økonomi. Mange av disse fagene har behov for en god del matematikk som verktøy, men mener samtidig at de ikke har mulighet til å sette av så mye plass til matematikk i studieløpene. Dermed blir det ofte trangt om plassen i de første matematikkursene, noe som igjen kan føre til at undervisningen blir mer metoderettet enn den burde. Dette er selvfølgelig ikke noe vi ønsker, men en konsekvens av at også denne delen av verden er full av kompromisser.

”Ren” kontra ”anvendt” matematikk: Mye av Kvalheims kritikk ser ut til å basere seg på en litt foreldet distinksjon mellom ”ren” og ”anvendt” matematikk, selv om han ikke bruker disse ordene selv. I hans innlegg er det den abstrakte, kreative, frie matematikken som stikker av med alle honnørordene, mens den konkrete, anvendte og metodebaserte matematikken må ta seg en tur i skammekroken. Jeg tror de fleste matematikere har vanskelig for å kjenne seg igjen i et slikt verdensbilde. Det er vanskelig å forstå at den matematikken som brukes til å formulere fysiske lover, skal være mindre verdt enn den matematikken som ikke gjør det. Også her er det viktig å balansere — et kurs som bare består av innlæring av metoder, er verdiløst, men et kurs der man ikke lærer noen metoder, gjør ikke jobben sin med å legge til rette for kommende kurs.

Selv om matematikere har frihet til å bygge nye, abstrakte verdener, er de fleste opptatt av at dette ikke er en uforpliktende lek, men et forsøk på å utforske den verdenen vi tross alt lever i. Kvalheim skriver:

”Matematikk er en abstraksjonskunst hvor man prøver å se ting fra forskjellige perspektiv. Å gjøre matematikk burde alltid handle om å oppdage mønstre og lage vakre og meningsfulle forklaringer på disse mønstrene.”

Det er slik vi tenker på matematikk når vi skal holde festtaler, og av og til er matematikken slik i virkeligheten også, men i hverdagen ser ofte faget litt annerledes ut — istedenfor vakre og korte argumenter, er det ofte tunge og lange (og kjedelige!) beregninger som må til.

Hva gjør vi? Hvordan ser så disse forferdelige begynnerkursene i matematikk ut? Består de kun av metoder og er totalt blottet for forsøk på å forklare og forstå? Jeg har både skrevet lærebøkene og undervist kursene mange ganger, så jeg er muligens inhabil, men jeg må likevel få lov til å si at jeg aldri har opplevd dem slik. De fleste tilbakemeldinger fra studenter og kolleger i andre fag har heller gått den andre veien, og klaget på at kursene inneholder for mye matematisk teori.

I praksis gjør vi vel ikke annet enn det alle andre gjør når de står foran en inhomogen gruppe studenter: Vi prøver å undervise slik at alle får noe som passer for dem. Dette betyr at vi gir studentene den nødvendige treningen i de metodene de kommer til å få bruk for i andre kurs, men samtidig vektlegger vi den grunnleggende teorien for kurset vi underviser. Det første matematikkurset MAT1100 inneholder for eksempel en diskusjon av kompletthet av den reelle tallinjen, en gjennomgang av epsilon-delta-formuleringene av grenser og kontinuitet, beviser for skjæringssetningen, ekstremalverdisetningen og middelverdisetningen, samt en rigorøs innføring av Riemann-integralet med bevis for analysens fundamentalteorem. Det er nok ikke alle studenter som er like lykkelige for disse teoribitene, men det gir de matematikkinteresserte både et grunnlag for videre studier i matematisk analyse og et innblikk i hvordan en matematisk teori bygges opp. Jeg greier ikke helt å forene dette bildet med Kvalheims ord om at ”det nesten [er] som om det er et tabu å prøve å vinkle eller forstå det teoretiske aspektet ved faget.”

Sammenlignet med utdanninger i andre land tror jeg vi teorimessig ligger et godt stykke over det som er vanlig i land med en bred, amerikansk ”kalkuluskultur”, men et stykke under det som er vanlig i land der matematikkstudenter undervises separat fra starten av.

Hva kunne vi ha gjort? Matematikkprogrammene ved UiO ble revidert for et par år siden, og det var da enighet om at vi ønsker at våre studenter skal få en bred innføring i matematiske fag slik at alle kommer ut av studiet med en grunnkompetanse både i matematikk, statistikk, modellering og programmering. Tanken var at en slik grunnkompetanse ikke bare gir et godt grunnlag for videre studievalg, men også en god basis for en variert yrkeskarriere.

Vi har selvfølgelig innimellom diskutert mulighetene for et smalere matematikkprogram rettet mot studenter med interesse for det vi for enkelthets skyld kan kalle ”ren” matematikk. I et slikt program ville det kanskje vært naturlig å bygge opp studiet annerledes og starte med et kurs som tar utgangspunkt i enkel mengdelære og logikk, og som deretter går videre til andre typer abstrakte strukturer (dette er omtrent innholdet i kurset MAT1140 som Kvalheim refererer til). Det er flere grunner til at vi ikke har gitt oss i kast med dette. Den ene er økonomien: Oppretter vi et program med egne kurs i første semester, må vi følge opp dette med egne kurs i de neste semestrene også, og da blir opplegget svært kostbart. Et annet argument er at et slikt program fort kunne ha ledet til mange feilvalg siden studenter som kommer rett fra norsk videregående skole, ikke har forutsetninger for å vite om de vil trives med abstrakt matematikk — dette er et ”fagfelt” de ikke har noen erfaring med. Det tredje argument er allerede nevnt: Vi mener at selv de som skal gå videre med ”ren” matematikk, har godt av et bredt grunnlag, både for å kunne se de videre studiene i et videre perspektiv og for å være godt rustet til en senere yrkeskarriere.

Moore-metoden: På slutten av sin artikkel nevner Kvalheim mulighetene for en mer åpen og undersøkende undervisningsform. Opplegget han skisserer, ligger tett opptil det som i matematikerkretser gjerne omtales som Moore-metoden etter den amerikanske matematikeren R. L. Moore, som utviklet metoden ved University of Texas fra 1920-tallet og fremover (et søk på ”Moore method” på Google gir flere enn nok treff). Metoden er omdiskutert og har både tilhengere og motstandere. En av tilhengerne av metoden var den kjente matematikeren Paul R. Halmos (omtalt av Kvalheim) som en gang skrev:

“The Moore method is, I am convinced, the right way to teach anything and everything — it produces students who can understand and use what they have learned.”

Blant motstanderne finner vi en annen kjent matematiker, Mary Ellen Rudin, som selv var student av Moore. Hennes hovedinnvending var at fremdriften med Moore-metoden blir for liten, og at metoden produserer kandidater som er “umåtelig selvsikre og umåtelig uvitende” (hun klaget selv over at hun ikke visste hva en analytisk funksjon var etter å ha avsluttet sin doktorgrad hos Moore).

Uansett om man er tilhenger eller skeptiker, tror jeg det er noen forutsetninger de fleste er enig om må være til stede for at Moore-metoden skal fungere:

· Klassen må ikke være for stor. Det må være rom til at alle bidrar aktivt til diskusjonen.

· Klassen bør være rimelig homogen uten for store variasjoner i forkunnskaper og ferdigheter.

· Studentene må være til stede og villig til å delta aktivt.

· Temaet for kurset bør være relativt “lukket” og ikke forutsette at man hele tiden må bringe inn resultater og redskaper fra andre deler av faget. Moore selv arbeidet mest med generell topologi som nettopp er et fagfelt der man starter med noen få aksiomer og utvikler teorien “uten innblanding utenfra”.

Jeg tror denne listen og rammebetingelsene nevnt tidligere forklarer hvorfor Matematisk institutt neppe vil bytte til Moore-metoden i alle kurs. Dette betyr ikke at vi ikke kan være villige til å prøve i noen kurs, og MAT1140 Strukturer og argumenter kan absolutt være et sted å begynne. Jeg underviste selv kurset første gang det ble gitt, og lekte faktisk med tanken på å følge et tilnærmet Moore-opplegg (læreboken la opp til det), men valgte en mer tradisjonell undervisningsform da det meldte seg over hundre studenter.