古典機率 — 到底該不該用 C ?

有熊老師
Sep 5, 2018 · 4 min read

這題的解答,在第 8 張圖,請先想好再往後翻

在介紹之前的「超商公仔」問題前,先用這一題來講解「古典機率,該不該用 C?」的疑難

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回應網友的提問:「樹狀圖的算法,是條件機率嗎?」

嗯,樹狀圖的算法應該比較適合說是「乘法原理」的使用。

這麼說吧,「第一顆抽紅球後,第二顆也抽紅球的機率是 6/9」
這件事,的確是「有條件的機率」

但我們所說的「條件機率」,是指
P(B|A) = P(B∩A) / P(A)

我在推論出 (發現) 那個 6/9 時,其實只是數了當時「剩九顆球,其中紅球占六顆」,

而並沒有去以 P(連抽二紅) 除以 P(第一顆是紅)

所以雖然它是「有條件的機率」,但並不是用所謂「條件機率」的方式算出來的,
仍然「只是一般的機率」而已。

如果不「把球當成相異的」去想,而是把「3紅2白」當一個樣本、「5紅」當一個樣本……
(那分母就是前面說的 H2取5–2)

這樣一來,每一個樣本的機率就會不一樣,所以不符合「古典機率公式」的使用條件。

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另外,也許學生會想:「球要當不同的,那抽出來的先後順序為什麼不能當相異的?」

也就是「為什麼用C、不用P?」

是的,你可以試著用P去想,但如果你有想法楚 (在想像中展開樹狀圖 ),會發現你的分母是 P10取5,而分子不只有 P7取3 x P3取2

而是還會再乘上一個「C5取3」

然後合併起來,就會一樣…… 其實就是前一張圖寫的那樣。
所以我才會說「真的想清楚、不混淆的人,基本上就要懂得展開樹狀圖」

如果你是直接跳來看答案的,而且你答錯的話…… 回過頭從第 2 張開始看吧,這樣的學習效果比較好。

同理,利用「想像樹狀圖」也同時確認了「一個一個抽」時,最後要 「乘以 1/2」

又,其實 「抽後不放回、固定機率」的重複試驗,展開樹狀圖的過程會和古典機率公式很像;

這也是為什麼那條公式常常「不需調整」就能直接套用。

但也因此,很多學生並沒有真的學會它。

四種想法都挺合理的,但,哪些其實是錯的呢?

「一個一個抽」和「古典機率公式」最好是都要會;
我自己在教古典機率時,從基礎的「擲骰子」、「九人分三組」等問題開始,就都會附上
「一題雙解」

除了讓學生知道「兩種方法都可以」之外,也是希望他們能快速地利用另一種方法去確認自己有沒有想對。

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