微分「連鎖原理」+ 積分原理

有熊老師
Sep 5, 2018 · 3 min read

微分 — 連鎖原理

微分「連鎖原理」學生常搞混,因為他們分不清楚 f’(x) = df/dx 和 f’(g(x)) = df/dg 的差別。

用「玉米 — 豬肉 — 香腸」來說明,
「玉米多漲一塊,香腸漲多少」 和 「豬肉多漲一塊,香腸漲多少」是不一樣的
f 對 x 微分,還是對 g 微分是不同的

而 df/dx = df/dg * dg/dx 也會變得有意義許多,而不再只是算式裡「可以約掉」而已。

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ps. 最後的那三句話,嚴格說起來,要說

「玉米價格漲一點點,香腸會漲 幾點點?」

也就是「香腸漲多少」其實是 dy

而我們要算的是 dy/dx ,其實是要把dx 給除掉。

(另外兩句也是一樣,最後要改成「幾點點」)

不過,這樣講比較拗口啦,可以在學生大致聽懂、接受之後,再補充說明、以免他們之後想一想又覺得奇怪。

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積分原理

數學課本上,對積分的這段說明,你有看懂嗎?

不只是最近有學生問我,其實我當學生的時候也沒看懂……
唉,「課本不講的人話的」

用這兩張圖,說明
1. 「積分」為什麼寫成這樣

2. 那個「積分了又微分」的式子裡,為什麼寫 f(t)、不寫 f(x)?

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附帶一提,這張圖的左下,那條淺藍色的帶狀,
◎ 它的寬就是「極小的 △x 」,
◎ 它的長(高) 就是 該處的 f(x)

如果有人沒看懂的話,在這裡補充說明一下。

畢免 → 避免

如果對於
「f(x) 和 f(t) 都是指「給我一個輸入值……並沒有不同」
這點,還是有困惑的話,請參考我之前貼的,關於「區域變數」的說明 (只有四張圖而已)

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有熊老師

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