Un teorema da premio

Pierre de Fermat nacque nel 1601 a Beaumont-de-Lomange nel sudovest della Francia. Egli non fu solo un matematico, ma anche un magistrato che si dedicò alla matematica per hobby. E' stato considerato come uno dei più geniali matematici auto-didatti mai vissuto.

La citazione precedente è tratta da La ragazza che giocava con il fuoco di Stieg Larsson, secondo romanzo dell’incompiuta serie Millennium. L’ho trovata in inglese anni fa sul sito found in books (la traduzione è mia, non avendo le edizioni italiane) e mi sembrava una buona introduzione per l’ultimo teorema di Fermat, la cui dimostrazione ha valso a Andrew Wiles il Premio Abel 2016 (press release in pdf).

Scherzo da avvocato?

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. [1]
Pierre de Fermat

E' questo quello che scrisse Pierre de Fermat a margine della sua copia del secondo volume dell’Arithmetica di Diofanto e in pratica sancisce l’impossibilità di trovare soluzioni, nel campo dei numeri naturali, per l’equazione diofantea [2] che generalizza il teorema di Pitagora:

a^n + b^n = c^n

Dal teorema di Pitagora sappiamo che per n = 2 l’equazione di Fermat possiede soluzioni nel campo dei numeri naturali, dette terne pitagoriche. Per n superiore a 2 il discorso, invece, diventa più complicato, tanto che lo stesso Fermat, pur scrivendo quanto segue, non fornì mai una dimostrazione completa se non per il caso particolare di n=4:

Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

L’affermazione di cui sopra diventa, allora, una vera e propria sfida lanciata ai matematici di tutto il mondo, e molti di loro, nel corso dei secoli, l’hanno raccolta. Il problema è che, invariabilmente, ognuno di loro si scontrò contro la dimostrazione formale completa, ottenendo alla fine solo vittorie parziali (dimostrazioni di casi particolari), con al più la scoperta di un nuovo strumento matematico utile per la dimostrazione successiva.
La prima ad affrontare il teorema fu la matematica Sophie Germain [3], che dimostrò il seguente teorema:

Sia p un numero primo dispari. Se esiste un numero primo ausiliario P = 2Np + 1 tale che:
1. se x^p + y^p + z^p = 0 (mod P), allora P divide xyz
2. se p non è una p-esima potenza residua (mod P) allora il primo caso per l'ultimo teorema di Fermat conduce a una verità per p.

Dopo questo primo tentativo, ne seguirono molti altri fino ad arrivare alla soluzione definitiva di Wiles, che se da un lato conclude la caccia alla soluzione, dall’altro lascia aperta una questione strettamente legata alla dimostrazione originale di Fermat.

La dimostrazione perduta

Andrew Wiles

È abbastanza ovvio, in effetti, che Fermat non poteva conoscere molte delle tecniche e dei teoremi, legati ale equazioni elittiche, a disposizione di Wiles, per cui molte sono state le congetture relative al caso. Sostanzialmente sono due le posizioni principali: alcuni ritengono che non abbia mai avuto una dimostrazione del teorema, a parte quella parziale per il quarto grado, altri invece ritengono che semplicemente il matematico francese si accorse che la sua dimostrazione era sbagliata, così decise di pubblicare solo il caso particolare.
Potrebbe, però, esserci un’altra soluzione. Wiles, nella sua dimostrazione, ha fatto ampio uso delle funzioni ellittiche, ma questo non deve stupire visto che il teorema di Fermat si basa proprio su un’equazione che rientra in tale classe. E le equazioni ellittiche sono uno degli argomenti studiati da Niels Abel, che insieme a Evariste Galois ha scoperto (o ideato) la teoria dei gruppi. Così potrebbe non essere impossibile immaginare che, in realtà, Fermat si trovò in mano una dimostrazione che anticipava i risultati di Abel e Galois e non fidandosi del risultato trovato, decise semplicemente di farla sparire per sempre.
Certo è che il piccolo teorema di Fermat [4], che afferma che per ogni numero intero a e ogni primo p,

a^p p(mod p)

è sicuramente dimostrabile sia usando la teoria dei gruppi, sia usando il teorema binomiale.
È possibile (credo anche più probabile di una scoperta anticipata della teoria dei gruppi) che Fermat provò a utilizzare questo teorema o comunque l’approccio binomiale per la dimostrazione generale, per poi doversi magari accontentare di quella particolare [5] per $n = 4$.

La dimostrazione definitiva

Come scritto la dimostrazione definitiva è stata conclusa dal matematico britannico Andrew Wiles (divenuto sir dopo questo successo), presentata a un congresso tenutosi a Cambridge nel 1993. Purtroppo quella prima dimostrazione conteneva un errore, come si accorse Nick Katz, uno dei referee che dovevano esaminare il manoscritto di Wiles per la pubblicazione su Inventiones Mathematicae, rivista diretta da Barry Mazur, amico e conoscente di entrambi.
Concludere la dimostrazione per Wiles si rivelò più difficile del previsto: dopo molti mesi in cui cercò di riprodurre la magica alchimia di solitudine e concentrazione che gli consentì di arrivare a quei primi importanti risultati, non riusciva a compiere l’ultimo passo, così, su consiglio di Peter Sarnak, decise di chiedere aiuto ed assistenza a uno dei suoi ex-allievi, tra l’altro anche uno dei referee scelti dalla rivista, Richard Taylor. Grazie all’unione dei due ingegni e a un’intuizione improvvisa quanto inaspettata anche questo incredibile teorema matematico trovò soluzione finale, ottenendo come ulteriore risultato l’unione tra due mondi matematici separati come le equazioni ellittiche e le forme modulari.
La dimostrazione di Wiles, infatti, si basa sulla dimostrazione della congettura di Taniyama e Shimura (oggi assurta a teorema), due ricercatori giapponesi, due amici molto legati che le vicende della ricerca e della vita separarono indissolubilmente (Taniyama, ormai vicino al matrimonio, si uccise per non meglio identificati motivi, in una vicenda un po’ alla Majorana).
La dimostrazione conclusiva venne alla fine pubblicata su due articoli apparsi su Annals of Mathematics:
* Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, AoM vol.141, No. 3, pag. 443
* Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, AoM vol.141, No. 3, pag. 553

Ulteriori risorse:
Dimostrazione del teorema su Math World
Wikibooks: L’ultimo teorema di Fermat


[1] È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.
[2] Per equazione diofantea si intende un’equazione per la quale bisogna cercare soluzioni esclusivamente nel campo dei numeri naturali.
[3] “Voici ce que j’ai trouve”: Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s Last Theorem di Reinhard Laubenbacher e David Pengelley
[4] L'enunciato in matematichese tradotto in termini più usuali afferma che a^p - a è divisibile per p.
[5] Proofs of Fermat's little theorem


Post realizzato a partire dai seguenti apparsi originariamente su DropSea:

Biografie essenziali: Pierre de Fermat | Pierre de Fermat e il suo teorema impossibile | L’ultimo teorema di Fermat