Пи тооны эрэлд…

Өчигдөр орой Scientific American ухаж яваад “Пи өдөр” (2016.03.14) тохиосон болохыг санасан юм. Математикийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал тогтмолуудын нэг Пи (π) тоо нь 3.14-тэй тэнцдэгийн учраас 3 дугаар сарын 14-нийг Пи өдөр хэмээдэг аж. Пи тоо яагаад чухал болох, энэ тооны жинхэнэ утгыг олох гэж хүн төрөлхтөн хэр урт замыг туулсан тухай та бүхэнтэй хуваалцая.

Пи тооны хэрэглээнүүд нь тойрог, бөмбөрцөг, цилиндер, конус, эллипстэй холбоотой тооцооллууд нь хамгийн өргөн гардаг. Хамгийн энгийн хэрэглээ нь та бидний дунд сургуульдаа үздэгчлэн тойргийн радиус, түүний тойргийнхоо урт, талбайтай ямар хамааралтай болохыг тайлбарлахад оршино. (тойргийн урт = 2πr, тойргийн талбай = πr^2)

Хүн төрөлхтөн энэ агуу тоог азаар их эрт нээсэн ч яг “жинхэнэ” утгыг нь олохын тулд багагүй замыг туулсан юм. Өдийг хүртэл уг тооны 3.141592… гэсэн утгыг олох хүртэл үе үеийн математикчид 3, 3.12, 3.16 гэсэн таамаглалуудыг дэвшүүлж байсан. Пи тооны утгыг олох эрэл хайгуул нь зөвхөн нарийвчлалаас гадна өөр бусад олон салбарыг хөгжүүлэх, тэр ч бүү хэл шинэ ойлголтуудыг математикийг шинжлэх ухаанд гаргаж ирсэн юм. Тухайлбал, хязгаар, олон удаагийн давталтат алгоритм зэрэг санаануудыг гаргаж ирсэн нь хожим шинэ салбар шинжлэх ухааны суурь болсон юм.

Эхлэл: Олон өнцөгт

Одоогоос 3000–4000 жилийн өмнөөс математикчид Пи тооны утгыг хайж эхэлжээ. Ингэхдээ хамгийн анх ямар нэг математикийн үйлдэл үгүйгээр шууд таамаглах, дараа нь түүнийгээ шалгаж үзэх байдлаар тоон утгыг нь эрэлхийлж байв. Анх эртний Вавилончууд тойргийн урт нь диаметрээсээ 3 дахин урт хэмээн тодорхойлж, дараа нь манай эриний өмнөх 1900–1600 оны үед илүү нарийвчлалтай буюу 3.125 гэсэн тоог дэвшүүлжээ. Тэгвэл МЭӨ 1650 оны үед эртний Грекчүүд 3.1605 тоог санал болгосон байна. Дээрх 2 таамаглалыг 2-ууланг нь 3.1 хэмээх тооноос эхлэн хайсан байдаг бөгөөд тухайн үедээ тун ойрхон, маш сайн таамаглал байв. Гэхдээ л жинхэнэ утга хол байна.

Эдгээрийн дараагийн нэгэн дэвшилтийг МЭӨ 250 онд эртний Грекийн агуу математикч Архимед гаргасан. Тэрээр Пи тоог ойролцоолон бодохын тулд хамгийн анх геометрийн арга санал болгосон. Тодруулбал, Архимед тойрогт багтсан болон багтаасан олон өнцөгт зурж, уг 2 олон өнцөгтийн периметрийн уртыг хэмжих замаар Пи тоог олохыг зорьсон. Тэрээр зөв 6 өнцөгтөөс эхлэн, өнцөгийн тоог нэмэх замаар өөрийн тооцооллоо хийжээ. Үүний дараагаар Архимед Пи тоог 3.14-тэй тэнцэнэ хэмээн гаргасан ба манай эриний 150 оны үед Грек-Ромын шинжлэх ухаанч Птолемей түүний аргыг ашиглан, илүү нарийвчлалтай буюу 3.1416 гэсэн үр дүнд хүрсэн байдаг.

Тэгвэл МЭ 265 онд Хятадын математикч Лиу Хуй олон өнцөгтөд суурилсан итерацийн энгийн алгоримтийг санал болгосон ба түүний санал болгосон аргаар Птолемейн дэвшүүлсэн үр дүнг илүү хурдан, үр бүтээлтэй байдлаар гаргаж авч чадаж байв. Тэрээр Пи тооны илүү нарийвчлалтай хувилбарыг санал болгоогүй хэдий ч арга, техникийн хувьд том дэвшил гаргасан юм. Түүний дараагаар МЭ 480 онд Зу Чонжи дээрх аргачлалыг ашиглан Пи тоог таслалын ард 7 орны нарийвчлалтайгаар тооцоолон гаргасан нь 800 жилийн турш Пи тооны хамгийн нарийвчлалтай хувилбар нь байв. Харин 1630 онд Австрийн одон орон судлаач Кристоф Гриенбергер мөн л дээрх аргачлалыг ашиглаад 38 орны нарийвчлалтай тоог гаргасан.

Төгсгөлгүй үргэлжлэх тоон цуваа

16, 17-р зуунд төгсгөлгүй үргэлжлэх тоон цуваан тухай аргачлалууд үсрэнгүй хөгжсөн. Энэ хөгжил ч математикчдад Пи тоог илүү нарийвчлалтай тооцох боломжийг олгосон. Төгсгөлгүй үргэлжлэх цуваан ойлголт, түүнийг Пи тоон тооцоололд хэрхэн ашиглаж болох талаар хамгийн анх Энэтхэгийн эрдэмтэн Нилаханта Сомаяажи 1500 оны үед санскрит хэлнээ буулган үлдээжээ.

Тэгвэл 1665 онд Английн агуу физикч, математикч Исаак Ньютон төгсгөлгүй үргэлжлэх цувааг ашиглан Пи тоог 15 орны нарийвчлалтайгаар тогтоосон байна. Тэрээр энэхүү аргачлалыг Германы математикч Вилгелм Лейбницийн хамтаар нээсэн гэдэг. Үүнээс хойш математикчдад Пи тоог тооцоолох илүү өргөн боломж нээгдсэн бөгөөд илүү нарийвчлалтай хувилбарыг олон “уралдаан” хүрээгээ тэлж, рекорд эвдэгдсээр байв. 1699 онд 71 орны нарийвчлалтай, 1706 онд 100 орны нарийвчлалтай, 1956 онд 620 орны нарийвчлалтай Пи тоог математикчид нээсэн нь тооны машин эсвэл компьютер ашиглалгүйгээр тооцсон хамгийн сайн нарийвлалтай хувилбарууд юм.

Дээрхтэй зэрэгцэн зарим математикчид Пи тооны бусад шинж чанарыг нээхээр ажиллаж байв. Швейцарын математикч Йохан Хенрих Ламберт хамгийн анх Пи тоог иррациональ тоо болохыг баталсан. Харин 1882 онд Германы математикч Фердинанд вон Лидеман Пи тоо нь алгебрийн ямар нэгэн рациональ тэгшитгэлээр бичигдэх боломжгүйг баталсан байдаг. (пи^2=10, 9*пи^4–240*пи^2+1492=0 гэх мэт тэгшитгэлүүд)

Илүү сайн нарийвчлал

Математикийн шинжлэх ухаан улам хөгжсөөр, түүнийг дагаад олон удаагийн давталтын аргууд (итераци) үсрэнгүй хөгжилд хүрсээр байв. (Тодорхой үйлдлийн дараа гарсан хариуг дараагийн үйлдэлд ашиглах. F(F(F…F(F(x))…) хэлбэрийн функц.)

Дээрх аргын хамгийн энгийн жишээ хоёрын язгуурыг тооцох. Ингэхдээ (x+2/x)/2 үйлдлийг олон удаа давтан хийх юм:

(2+2/2)/2=1.5

(1.5+2/1.5)/2=1.4167

(1.4167+2/1.4167)/2=1.4142 энэ нь 2^(1/2)-той маш ойртсон утга.

Дээрх аргын санаачлага хүн төрөлхтөнд хэмжээлшгүй их боломжийг олгосон бөгөөд дээрхтэй адил аргачлал одоо ч гэсэн бидний эргэн тойронд, бидний амьдралд сая саяараа хэрэглэгдэж байна.

Английн эрдэмтэн Жон Машиний 1706 онд хөгжүүлэн гаргасан томъёо болон Гаусс-Лежендрийн 18-р зууны сүүлч үеийн алгоритм зэрэг нь хожим эрдэмтэд Пи тоог илүү нарийвчлалтай тооцох боломжийг нээжээ. Тухайлбал 1946 онд зарим эрдэмтэд дээрх аргуудыг хөгжүүлэн компьютер ашиглан тооцоо хийсэн. Ингэхдээ тэдний тооцоолол 70 цагийн дотор Пи тоог 2037 орны нарийвчлалтайгаар тооцсон байдаг. Харин сүүлд илүү дэвшилтэт компьютер ашиглан 208 өдрийн тооцооллоор нийт 13 их наяд орны нарийвчлалыг тооцсон бол хамгийн сүүлд Пи тооны 60 их наяд дахь оронг тодорхойлсон ч гэх нь бий. Техник, технологи хөгжихийн хэрээр компьютер ашиглан Пи тооны хамгийн сайн нарийвчлалыг гарган авахаас илүүтэй уг бодлогоор дамжуулан суперкомпьютеруудын чадварыг шалгах нь илүү сонирхолтой асуудал болон хувирсан. Гэхдээ хамгийн гол нь хүн төрөлхтөн Пи тоог үнэн зөвөөр тодорхойлохын тулд хэдэн зуун математикчдийн хүч хөдөлмөр шингээн, хэдэн мянган дамжин зүтгэсний эцэст бодлогын хариуг олж чадсан билээ.

Пи тоог гараар тооцох энгийн арга

Пи тоог хамгийн энгийн байдлаар, гар аргаар тооцох хэд хэдэн арга бийн дотор хамгийн түгээмэл ашиглагддаг арга нь Монте-Карлогийн арга юм.

Монте-Карлогийн арга нь маш хялбархан. Цаасан дээр квадрат болон түүнд багтсан тойрог зурна. Квадратын талыг 2 урттай гэж үзвэл түүний талбай 4, харин тойргийн радиус 1, тойргийн талбай Пи-тэй тэнцэнэ. Тэгвэл та уг квадрат дотор дурын цэг шидэхэд тойрог дотор унах магадлал нь Пи/4 байх юм. Иймээс та өөрийн туршилтаа квадрат дотор санамсаргүй байдлаар хангалттай тооны цэг зурахад нийт цэгийн хэдэн хувь нь тойрог дотор байна вэ? гэдгийг тооцоод үзээрэй. Энэ тоо нь 78.54% гардаг байна. Одоо гарсан хариугаа 4-р үржүүлэхэд та Пи тоо гарах юм. Ингээд л та Архимед, Птолемей нарын л адилаар Пи тоог сонгодог аргаар тооцож чадлаа.

Эцэст нь танд нэгэн сонирхолтой туршилтын бичлэгийг хүргэе. Уг бичлэгт Пи тоог саяны нарийвчлалтайгаар хэвлэж гаргахад ямар хэмжээтэй цаас ашиглагдаж буйг харуулна. Ингэхдээ нэг цифрийн өргөнийг 1/15 инч буюу 1.7 мм байхаар хэвлэсэн бөгөөд нийт 1693 метр цаас ашиглагдсан байна.

Эх сурвалж