1.3 Exatidão, Precisão e Algarismos Significativos
Resumo
- Determine o número apropriado de algarismos significativos em adição e subtração, bem como cálculos de multiplicação e divisão.
- Calcule a incerteza percentual de uma medição.
Exatidão e Precisão de uma Medição
A ciência é baseada na observação e na experiência — isto é, nas medições. Exatidão é o quão perto uma medida é do valor correto para essa medida. Por exemplo, digamos que você esteja medindo o comprimento do papel padrão do computador. A embalagem em que você comprou o papel afirma que é de 11,0 centímetros de comprimento. Você mede o comprimento do papel três vezes e obtém as seguintes medidas: 11,1 pol., 11,2 pol. E 10,9 pol. Essas medições são bastante exatas porque estão muito próximas do valor correto de 11,0 pol. Em contraste, se você tivesse obtido uma medida de 12 polegadas, sua medida não seria muito exata.
A precisão de um sistema de medição refere-se a quão próxima a concordância é entre medidas repetidas (que são repetidas sob as mesmas condições). Considere o exemplo das medições de papel. A precisão das medições refere-se à disseminação dos valores medidos. Uma maneira de analisar a precisão das medições seria determinar a faixa, ou diferença, entre os valores medidos mais baixo e mais alto. Nesse caso, o valor mais baixo foi de 10,9 polegadas e o valor mais alto foi de 11,2 polegadas. Assim, os valores medidos se desviaram um do outro no máximo 0,3 polegadas. Essas medidas foram relativamente precisas porque não variaram muito em valor. No entanto, se os valores medidos tivessem sido 10,9, 11,1 e 11,9, as medições não seriam muito precisas, pois haveria variação significativa de uma medida para outra.
As medidas no exemplo do papel são exatas e precisas, mas em alguns casos, as medições são exatas, mas não precisas, ou são precisas, mas não exatas. Vamos considerar um exemplo de um sistema de GPS que está tentando localizar a posição de um restaurante em uma cidade. Pense na localização do restaurante como existente no centro de um alvo e pense em cada tentativa de GPS de localizar o restaurante como um ponto preto. Na Figura 3, você pode ver que as medições de GPS estão muito distantes uma da outra, mas estão relativamente próximas da localização real do restaurante no centro do alvo. Isso indica um sistema de medição de baixa precisão e alta precisão. No entanto, na Figura 4, as medições de GPS concentram-se muito próximas umas das outras, mas estão muito longe do local de destino. Isso indica um sistema de medição de alta precisão e baixa exatidão.
Exatidão, Precisão e Incerteza
O grau de exatidão e precisão de um sistema de medição está relacionado à incerteza nas medições. A incerteza é uma medida quantitativa do quanto seus valores medidos se desviam de um valor padrão ou esperado. Se suas medidas não forem muito exatas ou precisas, a incerteza de seus valores será muito alta. Em termos mais gerais, a incerteza pode ser pensada como um aviso para seus valores medidos. Por exemplo, se alguém lhe pediu para fornecer a quilometragem em seu carro, você pode dizer que é de 45.000 milhas, mais ou menos 500 milhas. O valor mais ou menos é a incerteza em seu valor. Ou seja, você está indicando que a quilometragem real do seu carro pode ser tão baixa quanto 44.500 milhas ou até 45.500 milhas, ou em qualquer lugar entre elas. Todas as medições contêm alguma quantidade de incerteza. Em nosso exemplo de medir o comprimento do papel, podemos dizer que o comprimento do papel é de 11 polegadas, mais ou menos em 0.2. A incerteza em uma medição, A, é frequentemente denotado por
(“delta A”), portanto, o resultado da medição seria registrado como
.Em nosso exemplo do papel, o comprimento do papel pode ser expresso como
Os fatores que contribuem para a incerteza em uma medição incluem:
- Limitações do dispositivo de medição,
- A habilidade da pessoa que faz a medição,
- Irregularidades no objeto sendo medido,
- Quaisquer outros fatores que afetam o resultado (altamente dependentes da situação).
Em nosso exemplo, esses fatores que contribuem para a incerteza podem ser as seguintes: a menor divisão na régua é de 0,1 pol, a pessoa que usa a régua tem visão ruim ou um lado do papel é ligeiramente mais comprido do que o outro. De qualquer forma, a incerteza em uma medição deve ser baseada em uma consideração cuidadosa de todos os fatores que podem contribuir a seus possíveis efeitos.
FAZENDO CONEXÕES: CONEXÕES REAIS DO MUNDO — FEBRE OU CALAFRIOS?
A incerteza é uma informação crítica, tanto na física quanto em muitas outras aplicações do mundo real. Imagine que você está cuidando de uma criança doente. Você suspeita que a criança está com febre, então verifica a temperatura com um termômetro. E se a incerteza do termômetro fosse 3.0ºC ? Se a leitura da temperatura da criança fosse 37.0 ºC (que é a temperatura normal do corpo), a temperatura “verdadeira” poderia estar em qualquer lugar, de uma hipotermia 34.0 ºC a uma perigosamente alta 40.0 ºC. Um termômetro com uma incerteza 3.0 ºC seria inútil.
Porcentagem de incerteza
Um método de expressar a incerteza é como uma porcentagem do valor medido. Se uma medição A é expressa com incerteza, δA, a incerteza percentual (% unc) é definida como:
% unc = δA/A x 100%
Exemplo 1: Calculando a incerteza percentual: um saco de maçãs
Uma mercearia vende 5-lb sacos de maçãs. Você compra quatro sacos ao longo de um mês e pesa as maçãs de cada vez. Você obtém as seguintes medidas:
- Semana 1 peso: 4.8 lb
- Semana 2 peso: 5.3 lb
- Semana 3 peso: 4.9 lb
- Semana 4 peso: 5.4 lb
Você determina que o peso 5-lb da sacola tem uma incerteza de + ou - 0.4 lb. Qual é a incerteza percentual do peso da sacola?
Estratégia
Primeiro, observe que o valor esperado do peso da bolsa A é de 5 lb. A incerteza nesse valor δA é de 0,4 lb. Podemos usar a seguinte equação para determinar a incerteza percentual do peso:
% unc = δA/A x 100%
Solução
Conecte os valores conhecidos na equação:
% unc = 0.4 lb/5 lb x 100% = 8%
Discussão
Podemos concluir que o peso da bolsa de maçã é 5 lb + ou -8% Considere como essa incerteza percentual mudaria se o saco de maçãs tivesse metade do peso, mas a incerteza no peso permaneceu a mesma. Sugestão para cálculos futuros: ao calcular a incerteza percentual, lembre-se sempre de que você deve multiplicar a fração por 100%. Se você não fizer isso, terá uma quantidade decimal, não um valor percentual.
Incertezas nos cálculos
Existe uma incerteza em qualquer coisa calculada a partir de quantidades medidas. Por exemplo, a área de um piso calculada a partir de medições de seu comprimento e largura tem uma incerteza, porque o comprimento e a largura têm incertezas. Quão grande é a incerteza em algo que você calcula por multiplicação ou divisão? Se as medições que entram no cálculo tiverem pequenas incertezas (alguns por cento ou menos), então o método de adição de porcentagens pode ser usado para multiplicação ou divisão. Esse método diz que a incerteza percentual em uma quantidade calculada por multiplicação ou divisão é a soma das incertezas percentuais nos itens usados para fazer o cálculo. Por exemplo, se um piso tiver um comprimento 4.00 m e uma largura 3.00 m com incertezas 2% e 1%, respectivamente, então a área do piso é 12.0 m² e tem uma incerteza de 3%. (Expresso como uma área em 0.36 m² que estamos, 0.4 m² desde que a área do piso é dada a um décimo de metro quadrado).
Precisão das Ferramentas de Medição e Algarismos Significativos
Um fator importante na exatidão e precisão das medições envolve a precisão da ferramenta de medição. Em geral, uma ferramenta de medição precisa é aquela que pode medir valores em incrementos muito pequenos. Por exemplo, uma régua padrão pode medir o comprimento até o milímetro mais próximo, enquanto um calibrador pode medir o comprimento até o milímetro mais próximo. O compasso de calibre é uma ferramenta de medição mais precisa porque pode medir diferenças extremamente pequenas no comprimento. Quanto mais precisa a ferramenta de medição, mais exatas e precisas as medições podem ser.
Quando expressamos valores medidos, só podemos listar tantos dígitos quanto medimos inicialmente com a nossa ferramenta de medição. Por exemplo, se você usar uma régua padrão para medir o comprimento de uma vareta, poderá medir 36,7 cm. Você não pode expressar esse valor como 36,71 cm porque sua ferramenta de medição não era precisa o suficiente para medir um centésimo de centímetro. Deve-se notar que o último dígito em um valor medido foi estimado de alguma forma pela pessoa que realizou a medição. Por exemplo, a pessoa que mede o comprimento de um bastão com uma régua percebe que o comprimento do bastão parece estar em algum lugar entre 36,6 cm e 36,7 cm, e ele ou ela deve estimar o valor do último dígito. Usando o método de números significativos, a regra é que o último dígito anotado em uma medição é o primeiro dígito com alguma incerteza. Para determinar o número de dígitos significativos em um valor, comece com o primeiro valor medido à esquerda e conte o número de dígitos até o último dígito escrito à direita. Por exemplo, o valor medido de 36,7 cm possui três dígitos ou números significativos. Valores significativos indicam a precisão de uma ferramenta de medição usada para medir um valor.
Zeros
Consideração especial é dada aos zeros ao contar números significativos. Os zeros em 0,053 não são significativos, porque são apenas marcadores que localizam o ponto decimal. Existem dois números significativos em 0,053. Os zeros em 10.053 não são marcadores, mas são significativos — esse número tem cinco números significativos. Os zeros em 1300 podem ou não ser significativos dependendo do estilo de escrever números. Eles podem significar que o número é conhecido até o último dígito ou podem ser marcadores. Então, 1300 poderia ter dois, três ou quatro números significativos. (Para evitar essa ambiguidade, escreva 1300 em notação científica.) Os zeros são significativos, exceto quando servem apenas como “guardiões.”
Verifique sua compreensão 1
1: Determine o número de algarismos significativos nas seguintes medidas:
a: 0,0009
b: 15.450,0
c: 6 x 10³
d: 87,990
e: 30,42
Algarismos Significativos em Cálculos
Ao combinar medições com diferentes graus de exatidão e precisão, o número de dígitos significativos na resposta final não pode ser maior do que o número de dígitos significativos no valor medido menos preciso. Existem duas regras diferentes, uma para multiplicação e divisão e outra para adição e subtração, como discutido abaixo.
- Para multiplicação e divisão: O resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos que a quantidade com os algarismos menos significativos que entram no cálculo. Por exemplo, a área de um círculo pode ser calculada a partir do seu raio usando A = πr². Vamos ver quantos algarismos significativos a área tem se o raio tiver apenas dois — digamos r=1.2 m então
é o que você obteria usando uma calculadora com uma saída de oito dígitos. Mas como o raio tem apenas dois algarismos significativos, limita a quantidade calculada a dois algarismos significativos ou
A = 4.5 m²,
mesmo que π seja viável para pelo menos oito dígitos.
2. Para adição e subtração: A resposta não pode conter mais casas decimais do que a menos precisa. Suponha que você compre 7,56 kg de batatas em uma mercearia medida com uma balança com precisão de 0,01 kg. Em seguida, você descarta 6,052 kg de batatas em seu laboratório, conforme medido por uma balança com precisão de 0,001 kg. Finalmente, você vai para casa e adiciona 13,7 kg de batatas, medido por uma balança com precisão de 0,1 kg. Quantos quilogramas de batata você tem agora e quantos números significativos são apropriados na resposta? A massa é encontrada por simples adição e subtração:
Em seguida, identificamos a medida menos precisa: 13,7 kg. Essa medida é expressa na casa decimal de 0,1, portanto nossa resposta final também deve ser expressa na casa decimal de 0,1. Assim, a resposta é arredondada para o décimo lugar, dando-nos 15,2 kg.
Algarismos significativos neste texto
Neste texto, a maioria dos números são considerados como tendo três números significativos. Além disso, números consistentes de números significativos são usados em todos os exemplos trabalhados. Você notará que uma resposta dada a três dígitos é baseada na entrada boa para pelo menos três dígitos, por exemplo. Se a entrada tiver menos números significativos, a resposta também terá menos números significativos. Também é tomado cuidado para que o número de algarismos significativos seja razoável para a situação apresentada. Em alguns tópicos, particularmente em óptica, são necessários números mais precisos e mais de três números significativos serão usados. Finalmente, se um número é exato, como os dois na fórmula para a circunferência de um círculo C = 2πr, isso não afeta o número de algarismos significativos em um cálculo.
Verifique sua compreensão 2
1: Execute os seguintes cálculos e expresse sua resposta usando o número correto de dígitos significativos.
(a) Uma mulher tem duas malas pesando 13,5 quilos e uma sacola com um peso de 10,2 quilos. Qual o peso total das sacolas?
(b) A força F num objeto é igual à sua massa m multiplicada pela sua aceleração a. Se um vagão com massa de 55 kg acelera a uma taxa de 0.0255 m/s², qual a força no vagão? (A unidade de força é chamada de newton e é expressa com o símbolo N.)
Resumo
- Exatidão de um valor medido refere-se a quão próxima uma medida é do valor correto. A incerteza em uma medição é uma estimativa do valor pelo qual o resultado da medição pode diferir desse valor.
- A precisão dos valores medidos refere-se à proximidade da concordância entre medições repetidas.
- A precisão de uma ferramenta de medição está relacionada ao tamanho de seus incrementos de medição. Quanto menor o incremento de medição, mais precisa é a ferramenta.
- Algarismos significativos expressam a precisão de uma ferramenta de medição.
- Ao multiplicar ou dividir valores medidos, a resposta final pode conter apenas tantos algarismos significativos quanto o valor menos preciso.
- Ao adicionar ou subtrair valores medidos, a resposta final não pode conter mais casas decimais do que o valor menos preciso.
Questões Conceituais
1: Qual é a relação entre a exatidão e a incerteza de uma medição?
2: As prescrições para correção da visão são dadas em unidades chamadas dioptrias (D). Determine o significado dessa unidade. Obtenha informações (talvez chamando um optometrista ou realizando uma pesquisa na Internet) sobre a incerteza mínima com a qual as correções nas dioptrias são determinadas e a precisão com a qual as lentes corretivas podem ser produzidas. Discuta as fontes de incertezas na prescrição e precisão na fabricação de lentes.
Glossário
exatidão — o grau em que um valor de medida concorda com o valor correto para aquela medida
método de adicionar porcentagens — a incerteza percentual em uma quantidade calculada por multiplicação ou divisão é a soma das incertezas percentuais nos itens usados para fazer o cálculo
incerteza percentual — a razão entre a incerteza de uma medida e o valor da medida, expressa como uma porcentagem
precisão — o grau em que as medições repetidas concordam umas com as outras
algarismos significativos — expressar a precisão de uma ferramenta de medição usada para medir um valor
incerteza — uma medida quantitativa de quanto seus valores medidos se desviam de um valor padrão ou esperado
Soluções
Verifique sua compreensão 1
1: (a) 1; os zeros neste número são placekeepers que indicam o ponto decimal
(b) 6; aqui, os zeros indicam que uma medição foi feita para o ponto decimal de 0.1, então os zeros são significativos
(c ) 1; o valor 10³ significa a casa decimal, não o número de valores medidos
(d) 5; o zero final indica que foi feita uma medição no ponto decimal de 0,001, por isso é significativo
e) 4; quaisquer zeros localizados entre números significativos em um número também são significativos
Verifique sua compreensão 2
1: (a) 37,2 libras; Como o número de sacolas é um valor exato, não é considerado nos valores significativos.
(b) 1,4 N; Como o valor de 55 kg tem apenas dois algarismos significativos, o valor final também deve conter dois algarismos significativos.
