1.6 — Intervalos de Validade

Aqui nós daremos uma visão detalhada dos intervalos de validade, bem como uma resposta à questão da existência e unicidade das equações diferenciais de primeira ordem.

Eu chamei esta seção de Intervalos de Validade porque todos os exemplos irão envolvê-los. No entanto, há muito mais nesta seção. Veremos alguns teoremas que nos dirão quando podemos resolver uma equação diferencial. Também veremos algumas das diferenças entre as equações diferenciais lineares e não-lineares.

Primeiro, vamos dar uma olhada em um teorema sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Este é um teorema muito importante, embora não o usemos de fato para seu aspecto mais importante.

Teorema 1

Considere o seguinte PVI.

Se p(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto

e o intervalo contém to , então há uma solução única para o PVI nesse intervalo.

Então, o que esse teorema nos diz? Em primeiro lugar, diz-nos que, para soluções de equações diferenciais lineares de primeira ordem suficientemente boas, é garantido que existam e, mais importante, a solução será única. Podemos não conseguir encontrar a solução, mas sabemos que ela existe e que só haverá uma delas. Este é o aspecto muito importante deste teorema. Saber que uma equação diferencial tem uma solução única é, às vezes, mais importante do que realmente ter a solução em si!

Em seguida, se o intervalo do teorema é o maior intervalo possível em que p(t) e g(t) são contínuas, então o intervalo é o intervalo de validade para a solução. Isso significa que, para equações diferenciais lineares de primeira ordem, não precisaremos realmente resolver a equação diferencial para encontrar o intervalo de validade. Observe também que o intervalo de validade dependerá apenas parcialmente da condição inicial. O intervalo deve conter to, mas o valor de yo , não tem efeito sobre o intervalo de validade.

Vamos dar uma olhada em um exemplo.

Exemplo 1 Sem resolver, determine o intervalo de validade para o seguinte problema de valor inicial.

Solução

Primeiro, para usar o teorema para encontrar o intervalo de validade, devemos escrever a equação diferencial na forma apropriada dada no teorema. Então, precisaremos dividir pelo coeficiente da derivada.

Em seguida, precisamos identificar onde as duas funções não são contínuas. Isso nos permitirá encontrar todos os intervalos de validade possíveis para a equação diferencial. Assim, p(t) será descontínua em

já que esses pontos vão dar uma divisão por zero. Da mesma forma, g(t) também será descontínua em

assim como t = 5, já que neste ponto teremos o logaritmo natural de zero. Observe que, nesse caso, não precisaremos nos preocupar com o log natural de números negativos, devido aos valores absolutos.

Agora, com esses pontos em mãos, podemos dividir a linha numérica real em quatro intervalos em que p(t) e g(t) serão contínuos. Estes quatro intervalos são,

Os pontos finais de cada um dos intervalos são pontos em que pelo menos uma das duas funções é descontínua. Isso garantirá que ambas as funções sejam contínuas em todos os lugares em cada intervalo.

Finalmente, vamos identificar o intervalo de validade real para o problema do valor inicial. O intervalo real de validade é o intervalo que vai conter to = 4. Então, o intervalo de validade para o problema do valor inicial é.

Neste último exemplo, precisamos ter cuidado para não saltar para a conclusão de que os outros três intervalos não podem ser intervalos de validade. Alterando a condição inicial, em particular o valor de to , podemos tornar qualquer um dos quatro intervalos o intervalo de validade.

O primeiro teorema exigia uma equação diferencial linear. Existe um teorema semelhante para equações diferenciais de primeira ordem não lineares. Este teorema não é tão útil para encontrar intervalos de validade quanto o primeiro teorema, então não estaremos fazendo tanto assim com ele.

Aqui está o teorema.

Teorema 2

Considere o seguinte PVI.

Se f(t,y) e

são funções contínuas em algum retângulo α < t < β, γ < t < δ contendo o ponto (to, yo) então há uma solução única para o PVI em algum intervalo to - h < t < to + h que está contido em α < t < β.

É isso aí. Ao contrário do primeiro teorema, este não pode realmente ser usado para encontrar um intervalo de validade. Assim, saberemos que existe uma solução única se as condições do teorema forem atendidas, mas na verdade precisaremos da solução para determinar seu intervalo de validade. Note também que, para equações diferenciais não lineares, parece que o valor de y0 pode afetar o intervalo de validade.

Aqui está um exemplo dos problemas que podem surgir quando as condições deste teorema não são atendidas.

Exemplo 2 Determine todas as soluções possíveis para o seguinte PVI.

Solução

Primeiro, note que esta equação diferencial NÃO satisfaz as condições do teorema.

Assim, a função é contínua em qualquer intervalo, mas a derivada não é contínua em y = 0 e, portanto, não será contínua em nenhum intervalo contendo y = 0. Para usar o teorema, ambas devem ser contínuas em um intervalo que contém yo = 0 e este é um problema para nós já que temos yo=0.

Agora, vamos realmente resolver o problema. Esta equação diferencial é separável e é bastante simples de resolver.

Aplicando a condição inicial dá c = 0 e então a solução é.

Então, temos duas soluções possíveis aqui, ambas satisfazendo a equação diferencial e a condição inicial. Há também uma terceira solução para o PVI, y(t) = 0 também é uma solução para a equação diferencial e satisfaz a condição inicial.

Neste último exemplo, tivemos um PVI muito simples e violou apenas uma das condições do teorema, mas ele tinha três soluções diferentes. Todos os exemplos em que trabalhamos nas seções anteriores satisfizeram as condições desse teorema e tiveram uma solução única para o PVI. Este exemplo é um lembrete útil do fato de que, no campo das equações diferenciais, as coisas nem sempre se comportam bem. É fácil esquecer isso, pois a maioria dos problemas que são trabalhados em uma classe de equações diferenciais são bons e se comportam de uma maneira agradável e previsível.

Vamos trabalhar um último exemplo que ilustrará uma das diferenças entre as equações diferenciais lineares e não-lineares.

Exemplo 3 Determinar o intervalo de validade para o problema de valor inicial abaixo e dar a sua dependência em relação ao valor de yo

Solução

Antes de prosseguir neste problema, devemos observar que a equação diferencial é não linear e satisfaz ambas as condições do Teorema 2 e por isso não irá ser uma solução única para o PVI para cada valor possível de yo.

Além disso, observe que o problema requer qualquer dependência do intervalo de validade no valor de yo. Isso imediatamente ilustra uma diferença entre equações diferenciais lineares e não lineares. Intervalos de validade para equações diferenciais lineares não dependem do valor de yo. Intervalos de validade para diferencial não-linear pode depender do valor de yo que chamamos a atenção depois do segundo teorema.

Então, vamos resolver o PVI e obter alguns intervalos de validade.

Primeiro note que se yo = 0 então y(t) = 0 é a solução e isto tem um intervalo de validade de

Então, para o resto do problema, vamos supor que

Agora, a equação diferencial é separável, então vamos resolvê-la e obter uma solução geral.

Aplicando a condição inicial dá

A solução é então.

Agora que temos uma solução para o problema do valor inicial, podemos começar a encontrar intervalos de validade. A partir da solução, podemos ver que o único problema que teremos é a divisão por zero em

Isso leva a dois intervalos possíveis de validade.

Esse intervalo real de validade será o intervalo que contém to = 0. Isso, no entanto, depende do valor de yo. Se yo < 0 então

e assim o segundo intervalo conterá to = 0. Da mesma forma se yo > 0 então

e neste caso o primeiro intervalo conterá to = 0.

Isso leva aos seguintes possíveis intervalos de validade, dependendo do valor de yo.

Em uma nota lateral, observe que a solução, em sua forma final, também funcionará se yo = 0.

Então, o que este exemplo nos mostrou sobre a diferença entre equações diferenciais lineares e não-lineares?

Em primeiro lugar, tal como referido na solução para o exemplo, intervalos de validade para equações diferenciais não-linear pode depender do valor de yo, ao passo que intervalos de validade para equações diferenciais lineares não.

Segundo, intervalos de validade para equações diferenciais lineares podem ser encontrados a partir da equação diferencial sem conhecimento da solução. Este definitivamente não é o caso das equações diferenciais não lineares. Seria muito difícil ver como qualquer um desses intervalos no último exemplo poderia ser encontrado a partir da equação diferencial. O conhecimento da solução foi necessário para que encontrássemos o intervalo de validade.