Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Neste capítulo, vamos analisar a solução de equações diferenciais de primeira ordem. A equação diferencial de primeira ordem mais geral pode ser escrita como
Como veremos neste capítulo, não há fórmula geral para a solução (1). O que vamos fazer é olhar para vários casos especiais e ver como resolvê-los. Também veremos algumas das teorias por trás das equações diferenciais de primeira ordem, bem como algumas aplicações de equações diferenciais de primeira ordem. Abaixo está uma lista dos tópicos discutidos neste capítulo.
1.1 — Equações lineares Identificando e resolvendo equações diferenciais lineares de primeira ordem.
1.2 — Equações Separáveis Identificando e resolvendo equações diferenciais de primeira ordem separáveis. Também começaremos a procurar encontrar o intervalo de validade da solução para uma equação diferencial.
1.3 — Equações Exatas Identificando e resolvendo equações diferenciais exatas. Nós vamos fazer mais alguns problemas de intervalo de validade aqui também.
1.4 — Equações Diferenciais de Bernoulli Nesta seção, veremos como resolver a Equação Diferencial de Bernoulli. Esta seção também apresentará a ideia de usar uma substituição para nos ajudar a resolver equações diferenciais.
1.5 — Substituições Nós vamos pegar onde a última seção parou e dar uma olhada em algumas outras substituições que podem ser usadas para resolver algumas equações diferenciais que não poderíamos resolver de outra forma.
1.6 — Intervalos de Validade Aqui nós daremos uma visão detalhada dos intervalos de validade, bem como uma resposta à questão da existência e unicidade das equações diferenciais de primeira ordem.
1.7 — Modelando com equações diferenciais de primeira ordem Usando equações diferenciais de primeira ordem para modelar situações físicas. A seção mostrará algumas aplicações muito reais de equações diferenciais de primeira ordem.
1.8 — Soluções de Equilíbrio Vamos olhar para o comportamento de soluções de equilíbrio e equações diferenciais autônomas.
1.9 — Método de Euler Nesta seção, vamos dar uma breve olhada em um método para aproximar soluções para equações diferenciais.
1.1 — Equações lineares
Identificando e resolvendo equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Equações Diferenciais Lineares
O primeiro caso especial de equações diferenciais de primeira ordem que veremos é a equação diferencial linear de primeira ordem. Nesse caso, diferentemente da maioria dos casos de primeira ordem que veremos, podemos derivar uma fórmula para a solução geral. A solução geral é derivada abaixo. No entanto, sugiro que você não memorize a fórmula em si. Em vez de memorizar a fórmula, você deve memorizar e entender o processo que vou usar para derivar a fórmula. A maioria dos problemas é realmente mais fácil de usar usando o processo em vez de usar a fórmula.
Então, vamos ver como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Lembre-se, ao passarmos por este processo, que o objetivo é chegar a uma solução que esteja na forma
Às vezes é fácil perder de vista o objetivo quando passamos por este processo pela primeira vez.
Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, devemos começar com a equação diferencial na forma mostrada abaixo. Se a equação diferencial não estiver nesta forma, o processo que vamos usar não funcionará.
Onde ambos p(t) e g(t) são funções contínuas. Lembre-se de que uma definição rápida e suja de uma função contínua é que uma função será contínua, desde que você possa desenhar o gráfico da esquerda para a direita sem nunca pegar seu lápis/caneta. Em outras palavras, uma função é contínua se não houver furos ou interrupções.
Agora, vamos supor que há alguma função mágica em algum lugar do mundo,
chamado de fator de integração. Não se preocupe, neste momento, com o que esta função é ou de onde veio. Vamos descobrir o que é
uma vez que tivermos a fórmula para a solução geral em mãos.
Então, agora que assumimos a existência de
multiplique tudo em (1) por
Isso vai dar.
Agora, é aí que a magia de
entra em jogo. Vamos supor que seja qual for
isso irá satisfazer o seguinte.
Mais uma vez não se preocupe sobre como podemos encontrar
que satisfaça (3). Como veremos, desde que p(t) seja contínuo, podemos encontrá-lo. Então, substituindo (3) em (2), chegamos agora.
Neste ponto, precisamos reconhecer que o lado esquerdo de (4) nada mais é do que a seguinte regra de produto.
Assim, podemos substituir o lado esquerdo de (4) por esta regra de produto. Ao fazer isso (4) torna-se
Agora, lembre-se que queremos encontrar y(t). Agora podemos fazer algo sobre isso. Tudo o que precisamos fazer é integrar os dois lados, depois usar um pouco de álgebra e teremos a solução. Então, integre ambos os lados de (5) para obter.
Observe a constante de integração, c, da integração do lado esquerdo está incluída aqui. É de vital importância que seja incluída. Se for deixada de fora, você receberá a resposta errada todas as vezes.
O passo final é então utilizar alguma álgebra para encontrar a solução, y (t).
Agora, do ponto de vista notável, sabemos que a constante de integração, c, é uma constante desconhecida e, assim, para tornar nossa vida mais fácil, vamos absorver o sinal de menos na frente da constante e usar um sinal positivo. Isso NÃO afetará a resposta final da solução. Então com essa mudança nós temos.
Novamente, mudar o sinal na constante não afetará nossa resposta. Se você optar por manter o sinal de menos, obterá o mesmo valor de c que eu, exceto que ele terá o sinal oposto. Ao conectar c, obteremos exatamente a mesma resposta.
Há um monte de cálculo rápido e solto com constantes de integração nesta seção, então você precisará se acostumar com isso. Quando fazemos isso, sempre tentaremos deixar bem claro o que está acontecendo e tentar justificar por que fizemos o que fizemos.
Então, agora que temos uma solução geral para (1) precisamos voltar e determinar exatamente o que é essa função mágica
Este é realmente um processo mais fácil do que você imagina. Vamos começar com (3)
Dividir ambos os lados por,
Agora, espero que você reconheça o lado esquerdo disto das suas aulas de Calculo I como nada mais do que a derivada seguinte.
Tal como acontece com o processo acima de tudo o que precisamos fazer é integrar ambos os lados para obter.
Você notará que a constante de integração do lado esquerdo, k, foi movida para o lado direito e teve o sinal de menos absorvido novamente, como fizemos anteriormente. Note também que estamos usando k aqui porque já usamos c e daqui a pouco teremos os dois na mesma equação. Assim, para evitar confusão, usamos letras diferentes para representar o fato de que elas, com toda a probabilidade, terão valores diferentes.
Exponencie os dois lados para obter
fora do logaritmo natural.
Agora, é hora de calcular rápido, leve e solto com as constantes novamente. É inconveniente ter o k no expoente, então vamos tirá-lo do expoente da seguinte maneira.
Agora, vamos usar o fato de que k é uma constante desconhecida. Se k é uma constante desconhecida, então também temos como constante desconhecida
por isso, podemos apenas renomeá-la para tornar nossa vida mais fácil. Isso nos dará o seguinte.
Então, agora temos uma fórmula para a solução geral (7) e uma fórmula para o fator de integração (8). Nós temos um problema no entanto. Nós temos duas constantes desconhecidas e quanto mais constantes desconhecidas temos mais problemas teremos mais tarde. Portanto, seria bom se pudéssemos encontrar uma maneira de eliminar uma delas (não seremos capazes de eliminar ambas …).
Isso é realmente muito fácil de fazer. Primeiro, substitua (8) em (7) e reorganize as constantes.
Assim, (7) pode ser escrito de tal maneira que o único lugar onde as duas constantes desconhecidas aparecem é uma relação entre as duas. Então, uma vez que ambas, c e k são constantes desconhecidas, assim é a proporção das duas constantes. Portanto, vamos apenas chamar a razão c e depois retirar k de (8), já que ela será absorvida eventualmente em c.
A solução para uma equação diferencial de primeira ordem linear é então
Onde,
Agora, a realidade é que (9) não é tão útil quanto parece. Muitas vezes é mais fácil executar apenas o processo que nos levou a (9) em vez de usar a fórmula. Nós não vamos usar essa fórmula em nenhum dos meus exemplos. Nós precisaremos usar (10) regularmente, já que essa fórmula é mais fácil de usar do que o processo para derivá-la.
Processo de Solução
O processo de solução para uma equação diferencial linear de primeira ordem é o seguinte.
- Coloque a equação diferencial na forma inicial correta, (1).
- Encontre o fator de integração,
usando (10)
3. Multiplique tudo na equação diferencial por
e verifique se o lado esquerdo se torna a regra do produto
e o escreva como tal.
4. Integrar os dois lados, certifique-se de lidar adequadamente com a constante de integração.
5. Encontre a solução y (t).
Vamos trabalhar alguns exemplos. Vamos começar resolvendo a equação diferencial que derivamos na seção Campos de direção.
Exemplo 1 Encontre a solução para a seguinte equação diferencial.
Solução
Primeiro precisamos obter a equação diferencial na forma correta.
A partir disso, podemos ver que p(t) = 0,196 e então
assim é
Note que oficialmente deve haver uma constante de integração no expoente da integração. No entanto, podemos descartar isso exatamente pela mesma razão que descartamos o k de (8).
Agora multiplique todos os termos na equação diferencial pelo fator de integração e faça algumas simplificações.
Integre os dois lados e não esqueça as constantes de integração que surgirão de ambas as integrais.
OK. É hora de brincar com as constantes novamente. Podemos subtrair k de ambos os lados para obter.
Tanto c como k são constantes desconhecidas e, portanto, a diferença também é uma constante desconhecida. Portanto, vamos escrever a diferença como c. Então, agora temos
Deste ponto em diante, nós apenas colocaremos uma constante de integração quando nós integrarmos ambos os lados, sabendo que se tivéssemos escrito uma para cada integrante, como deveríamos, as duas acabariam sendo “absorvidas” uma pela outra.
A etapa final no processo de solução é dividir os dois lados por
ou para multiplicar ambos os lados por
vai funcionar, mas eu geralmente prefiro a rota de multiplicação. Isso fornece a solução geral para a equação diferencial.
Da solução para este exemplo, podemos ver porque a constante de integração é tão importante nesse processo. Sem isso, nesse caso, teríamos uma solução única e constante, v(t) = 50. Com a constante da integração, obtemos infinitas soluções, uma para cada valor de c.
De volta à seção de campos de direção, onde derivamos a equação diferencial usada no último exemplo, usamos o campo de direção para nos ajudar a esboçar algumas soluções. Vamos ver se conseguimos corrigi-las. Para esboçar algumas soluções, tudo o que precisamos fazer é escolher diferentes valores de c para obter uma solução. Vários deles são mostrados no gráfico abaixo.
Então, parece que fizemos muito bem esboçar os gráficos de volta na seção do campo de direção.
Agora, lembre-se da seção Definições que a(s) condição(ões) inicial(ais) nos permitirá zerar em uma solução específica. Soluções para equações diferenciais de primeira ordem (não apenas lineares como veremos) terão uma única constante desconhecida nelas e, portanto, precisaremos exatamente de uma condição inicial para encontrar o valor dessa constante e, assim, encontrar a solução que procurávamos. A condição inicial para equações diferenciais de primeira ordem será da forma
Lembre-se também que uma equação diferencial, juntamente com um número suficiente de condições iniciais, é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
Exemplo 2 Resolva o seguinte PVI.
Solução
Para encontrar a solução para um PVI, devemos primeiro encontrar a solução geral para a equação diferencial e, em seguida, usar a condição inicial para identificar a solução exata que estamos buscando. Então, como essa é a mesma equação diferencial que vimos no Exemplo 1, já temos sua solução geral.
Agora, para encontrar a solução que estamos procurando, precisamos identificar o valor de c que nos dará a solução que procuramos. Para fazer isso, simplesmente conectamos a condição inicial que nos dará uma equação que podemos resolver para c. Então vamos fazer isso
Então, a solução real para o PVI é.
Um gráfico desta solução pode ser visto na figura acima.
Vamos fazer alguns exemplos que estão um pouco mais envolvidas.
Exemplo 3 Resolva o seguinte PVI.
Solução:
Reescreva a equação diferencial para obter coeficiente um na derivada.
Agora encontre o fator de integração.
Você pode fazer a integral? Se não reescrever tangente de volta em senos e cossenos e, em seguida, use uma substituição simples. Note que poderíamos descartar as barras de valor absoluto na secante por causa dos limites em x. De fato, esta é a razão para os limites em x.
Observe também que fizemos uso do seguinte fato.
Este é um fato importante que você deve sempre lembrar para esses problemas. Vamos querer simplificar o fator de integração o máximo possível em todos os casos e esse fato ajudará com essa simplificação.
Agora, de volta ao exemplo. Multiplique o fator de integração pela equação diferencial e verifique se o lado esquerdo é uma regra de produto. Note também que multiplicamos o fator de integração pela equação diferencial reescrita e NÃO pela equação diferencial original. Certifique-se de fazer isso. Se você multiplicar o fator de integração pela equação diferencial original, obterá a solução errada!
Integre os dois lados.
Observe o uso da fórmula trigonométrica.
isso facilitou a integral. Em seguida, encontre a solução.
Finalmente, aplique a condição inicial para encontrar o valor de c.
A solução é então.
Abaixo está um gráfico da solução.
Exemplo 4 Encontre a solução para o seguinte PVI.
Solução
Primeiro, divida por t para obter a equação diferencial na forma correta.
Agora vamos encontrar o fator de integração,
Agora precisamos simplificar
Entretanto, não podemos usar (11), já que isso requer um coeficiente um na frente do logaritmo. Então, lembre-se que
e reescrever o fator de integração de uma forma que nos permita simplificá-lo.
Fomos capazes de deixar cair as barras de valor absoluto, porque foram quadratura do t , mas muitas vezes eles não podem ser descartados por isso tome cuidado com eles e não deixá-los se você não sabe que pode. Muitas vezes, as barras de valor absoluto devem permanecer.
Agora, multiplique a equação diferencial reescrita (lembre-se que não podemos usar a equação diferencial original aqui…) pelo fator de integração.
Integre os dois lados e resolva a solução.
Finalmente, aplique a condição inicial para obter o valor de c.
A solução é então
Aqui está um gráfico da solução.
Exemplo 5 Encontre a solução para o seguinte PVI.
Solução
Primeiro, divida por t para obter a equação diferencial na forma correta.
Agora que fizemos isso, podemos encontrar o fator de integração.
Não esqueça que o “-” faz parte do p(t). Esquecer este sinal de menos pode levar um problema que é muito fácil de fazer e transformá-lo em um problema muito difícil, se não impossível, então tenha cuidado!
Agora, precisamos apenas simplificar isso, como fizemos no exemplo anterior.
Mais uma vez, podemos descartar as barras de valor absoluto, já que estamos enquadrando o termo.
Agora, multiplique a equação diferencial pelo fator de integração (novamente, certifique-se de que é a reescrita e não a equação diferencial original).
Integre os dois lados e resolva a solução.
Aplique a condição inicial para encontrar o valor de c.
A solução é então
Abaixo está um gráfico da solução.
Vamos trabalhar um exemplo final que parece mais interpretar uma solução do que encontrar uma solução.
Exemplo 6 Encontre a solução para o seguinte PVI e determine todos os possíveis comportamentos da solução como
Se esse comportamento depende do valor de y0, dê essa dependência.
Solução
Primeiro, divida por 2 para obter a equação diferencial na forma correta.
Agora encontre.
Multiplique
pela equação diferencial e reescreva o lado esquerdo como uma regra de produto.
Integre os dois lados e encontre a solução.
Aplique a condição inicial para encontrar o valor de c e observe que ele conterá y0, pois não temos um valor para isso.
Então a solução é
Agora que temos a solução, vamos analisar o comportamento a longo prazo i.e.
da solução. Os dois primeiros termos da solução permanecerão finitos para todos os valores de t. É o último termo que determinará o comportamento da solução. A exponencial sempre irá para o infinito,
no entanto, dependendo do sinal do coeficiente c (sim, nós já o encontramos, mas para facilitar essa discussão, continuaremos a chamá-lo c ). A tabela a seguir fornece o comportamento de longo prazo da solução para todos os valores de c.
Faixa de c
c <0 (*)
c = 0 (**)
c > 0 (***)
Comportamento da solução como
permanece finito y(t)
Esse comportamento também pode ser visto no gráfico a seguir de várias das soluções.
Agora, porque sabemos como c se relaciona com y0, podemos relacionar o comportamento da solução a y0. A tabela a seguir fornece o comportamento da solução em termos de y0 em vez de c .
Faixa de y0
Comportamento da solução como
permanece finito
Note que para
a solução permanecerá finita. Isso nem sempre acontece.
Investigar o comportamento a longo prazo das soluções é, por vezes, mais importante do que a própria solução. Suponha que a solução acima tenha dado a temperatura em uma barra de metal. Neste caso, gostaríamos que a(s) solução(ões) permanecesse finita a longo prazo. Com esta investigação, teríamos agora o valor da condição inicial que nos dará essa solução e, mais importante, os valores da condição inicial que precisaríamos evitar para não derretermos a barra.
