EQUAÇÕES DIFERENCIAIS — Seção 2 da Introdução
Uma introdução aos campos de direção e o que eles podem nos dizer sobre a solução para uma equação diferencial.
Campos de direção
Este tópico recebe sua própria seção por alguns motivos. Primeiro, entender os campos de direção e o que eles nos dizem sobre uma equação diferencial e sua solução é importante e pode ser introduzido sem qualquer conhecimento de como resolver uma equação diferencial e assim pode ser feito aqui antes de chegarmos a resolvê-los. Então, ter alguma informação sobre a solução para uma equação diferencial sem realmente ter a solução é uma boa ideia que precisa de alguma investigação.
Em seguida, uma vez que precisamos de uma equação diferencial para trabalhar, esta é uma boa seção para mostrar que as equações diferenciais ocorrem naturalmente em muitos casos e como as obtemos. Quase todas as situações físicas que ocorrem na natureza podem ser descritas com uma equação diferencial apropriada. A equação diferencial pode ser fácil ou difícil de alcançar, dependendo da situação e das suposições feitas sobre a situação, e talvez nunca consigamos resolvê-la, mas ela existirá.
O processo de descrever uma situação física com uma equação diferencial é chamado de modelagem. Nós estaremos olhando para a modelagem várias vezes ao longo destas notas.
Uma das situações físicas mais simples de se pensar é um objeto em queda. Então, vamos considerar um objeto em queda com massa m e derivar uma equação diferencial que, quando resolvida, nos dará a velocidade do objeto a qualquer momento, t . Vamos supor que apenas a gravidade e a resistência do ar atuarão sobre o objeto quando este cair. Abaixo está uma figura mostrando as forças que irão atuar sobre o objeto.
Antes de definir todos os termos deste problema, precisamos definir algumas convenções. Assumiremos que as forças que atuam na direção descendente são forças positivas, enquanto as forças que atuam na direção ascendente são negativas. Da mesma forma, assumiremos que um objeto se movendo para baixo ( isto é, um objeto em queda) terá uma velocidade positiva.
Agora, vamos dar uma olhada nas forças mostradas no diagrama acima.
é a força devido à gravidade e é dada por
onde g é a aceleração devido à gravidade. Nesta nota eu uso g = 9.8 m/s² ou g = 32 ft /s² dependendo se vamos usar o sistema métrico ou britânico.
é a força devida à resistência do ar e para este exemplo vamos assumir que é proporcional à velocidade, v, da massa. Portanto, a força devido à resistência do ar é então dada por
, Onde
Note que o “-” é necessário para obter o sinal correto na força. Tanto γ quanto v são positivos e a força está agindo para cima e, portanto, deve ser negativa. O “-” nos dará o sinal correto e, portanto, a direção para essa força.
Lembre-se da seção anterior de que a Segunda Lei de Newton do Movimento pode ser escrita como
onde F (t, v) é a soma das forças que atuam no objeto e pode ser uma função do tempo t e da velocidade do objeto, v. Para nossa situação, teremos duas forças atuando na gravidade do objeto,
. agindo no sentido descendente e, portanto, será positivo, e resistência do ar,
, atuando no sentido ascendente e, portanto, será negativo. Colocando tudo isso junto na segunda lei de Newton dá o seguinte.
Para simplificar a equação diferencial, vamos dividir a massa, m.
Esta é então uma equação diferencial linear de primeira ordem que, quando resolvida, dará a velocidade v (em m/s) de um objeto em queda de massa m que tem tanto a gravidade quanto a resistência do ar atuando sobre ela.
Para olhar os campos de direção (que é afinal o tópico desta seção), seria útil ter alguns números para as várias quantidades na equação diferencial. Então, vamos supor que temos uma massa de 2 kg e que γ = 0,392. Conectar isso a (1) fornece a seguinte equação diferencial.
Vamos dar uma visão geométrica desta equação diferencial. Vamos supor que por algum tempo, t , a velocidade seja v = 30 m / s. Note que não estamos dizendo que a velocidade será de 30 m/s. Tudo o que estamos dizendo é que vamos supor que, por acaso, a velocidade seja de 30 m/s em algum momento t. Então, se a velocidade for de 30 m/s em algum momento t , podemos ligar v= 30 em (2) para obter.
Lembre-se do seu Cálculo I, claro que uma derivada positiva significa que a função em questão, a velocidade, neste caso, está aumentando, por isso, se a velocidade deste objeto é sempre 30 m/s para qualquer tempo t da velocidade, deve estar aumentando naquele instante.
Além disso, lembre-se de que o valor da derivada em um determinado valor de t fornece a inclinação da linha tangente ao gráfico da função naquele momento, t. Então, se por algum tempo t a velocidade passa a ser de 30 m/s, a inclinação da linha tangente à curva da velocidade é 3,92.
Poderíamos continuar dessa forma e escolher valores diferentes de v e calcular a inclinação da linha tangente para esses valores da velocidade. No entanto, vamos dar uma abordagem um pouco mais organizada para isso. Vamos primeiro identificar os valores da velocidade que terão inclinação zero ou linhas tangentes horizontais. Estes são fáceis de encontrar. Tudo o que precisamos fazer é definir a derivada igual a zero e resolver por v.
No caso do nosso exemplo, teremos apenas um valor da velocidade que terá linhas tangentes horizontais, v = 50 m/s. O que isto significa é que SE (novamente, há essa palavra se), por algum tempo t, a velocidade passa a ser 50 m/s, então a linha tangente nesse ponto será horizontal. O que a inclinação da linha tangente é às vezes antes e depois deste ponto ainda não é conhecido e não tem relação com a inclinação neste momento específico, t.
Então, se tivermos v = 50, sabemos que as linhas tangentes serão horizontais. Denotamos isso em um sistema de eixos com setas horizontais apontando na direção de aumentar t no nível de v = 50, como mostrado na figura a seguir.
Agora, vamos obter algumas linhas tangentes e, portanto, setas para o nosso gráfico para alguns outros valores de v. Neste ponto, a única inclinação exata que nos é útil é a inclinação horizontal. Então, ao invés de ir atrás de pistas exatas para o resto do gráfico, vamos apenas seguir as tendências gerais da inclinação. A inclinação está aumentando ou diminuindo? Quão rápido a inclinação está aumentando ou diminuindo? Para este exemplo, esses tipos de tendências são muito fáceis de obter.
Primeiro, observe que o lado direito de (2) é um polinômio e, portanto, contínuo. Isso significa que só pode mudar de sinal se primeiro passar pelo zero. Portanto, se a derivada mudar de sinal (não há garantias de que isso será), ela será feita em v = 50 e o único local em que ela pode mudar é v = 50. Isso significa que para v > 50 a inclinação das linhas tangentes para a velocidade terá o mesmo sinal. Da mesma forma, para v <50, as encostas também terão o mesmo sinal. As inclinações nesses intervalos podem ter (e provavelmente terão) valores diferentes, mas sabemos quais devem ser seus sinais.
Vamos começar olhando para v <50. Vimos anteriormente que, se v = 30, a inclinação da linha tangente será 3,92 ou positiva. Portanto, para todos os valores de v <50 , teremos declives positivos para as linhas tangentes. Além disso, olhando para (2), podemos ver que, quando v se aproxima de 50, sempre ficando abaixo de 50, as inclinações das linhas tangentes se aproximam de zero e, portanto, se achatam. Se nós nos movemos contra longe de 50, ficando a menos de 50, as inclinações das retas tangentes se tornará mais íngreme. Se você quiser ter uma ideia de quão íngreme as linhas tangentes se tornam, você sempre pode escolher valores específicos de v e calcular os valores da derivada. Por exemplo, sabemos que em v = 30 a derivada é 3,92 e assim as setas neste ponto devem ter uma inclinação de cerca de 4. Usando essa informação, podemos agora adicionar algumas setas para a região abaixo de v = 50, como mostrado no gráfico abaixo.
Agora, vamos olhar para v > 50. A primeira coisa a fazer é descobrir se as pistas são positivas ou negativas. Faremos isso da mesma forma que fizemos no último bit, ou seja , escolha um valor de v, conecte-o a (2) e veja se a derivada é positiva ou negativa. Note que você NUNCA deve assumir que a derivada mudará os sinais onde a derivada é zero. É fácil verificar o que você deve fazer sempre.
Precisamos verificar a derivada, então vamos usar v = 60. Conectar isto em (2) dá o declive da linha tangente como -1.96, ou negativo. Portanto, para todos os valores de v > 50 , teremos declives negativos para as linhas tangentes. Assim como com v <50, olhando para (2), podemos ver que, quando v se aproxima de 50, sempre ficando maior que 50, os declives das linhas tangentes se aproximam de zero e se achatam. Ao afastar v de 50 novamente, permanecendo acima de 50, as inclinações das linhas tangente se tornarão mais íngremes. Agora podemos adicionar algumas setas para a região acima de v = 50, conforme mostrado no gráfico abaixo.
Este gráfico acima é chamado de campo de direção da equação diferencial.
Então, por que nos preocupamos com os campos de direção? Existem duas informações interessantes que podem ser prontamente encontradas no campo de direção para uma equação diferencial.
- Esboço de soluções. Como as setas nos campos de direção são de fato tangentes às soluções reais para as equações diferenciais, podemos usá-las como guias para esboçar os gráficos de soluções para a equação diferencial.
- Comportamento de Longo Prazo. Em muitos casos, estamos menos interessados nas soluções reais para as equações diferenciais, pois estamos no modo como as soluções se comportam quando t aumenta. Os campos de direção, se pudermos colocar as mãos neles, podem ser usados para encontrar informações sobre esse comportamento de longo prazo da solução.
Então, de volta ao campo de direção da nossa equação diferencial. Suponha que queremos saber qual é a solução que tem o valor v (0) = 30. Podemos ir ao nosso campo de direção e começar em 30 no eixo vertical. Neste ponto, sabemos que a solução está aumentando e, à medida que aumenta, a solução deve se achatar, porque a velocidade estará se aproximando do valor de v=50. Então começamos a desenhar uma solução cada vez maior e, quando acertamos uma flecha, apenas nos certificamos de ficar paralelos a essa flecha. Isso nos dá a figura abaixo.
Para ter uma ideia melhor de como todas as soluções estão se comportando, vamos colocar mais algumas soluções. Adicionando mais soluções, veja a figura abaixo. O conjunto de soluções que apresentamos abaixo é geralmente chamado de família de curvas de solução ou o conjunto de curvas integrais. O número de soluções que é plotado ao traçar as curvas integrais varia. Você deve representar graficamente curvas de solução suficientes para ilustrar como as soluções em todas as partes do campo de direção estão se comportando.
Agora, a partir do campo de direção ou do campo de direção com as curvas de solução esboçadas, podemos ver o comportamento da solução quando t aumenta. Para nosso objeto em queda, parece que todas as soluções se aproximarão de v = 50 à medida que t aumenta.
Frequentemente, queremos saber se o comportamento da solução dependerá do valor de v(0). Nesse caso, o comportamento da solução não dependerá do valor de v(0), mas isso provavelmente é mais uma exceção do que a regra, portanto, não espere isso.
Vamos dar uma olhada em um exemplo mais complicado.
Exemplo 1 Esboce o campo de direção para a seguinte equação diferencial. Esboce o conjunto de curvas integrais para esta equação diferencial. Determine como as soluções se comportam como
e se esse comportamento depende do valor de y(0) descreve essa dependência.
Solução
Primeiro, não se preocupe de onde veio essa equação diferencial. Para ser honesto, nós apenas inventamos. Pode ou não descrever uma situação física real.
Esta equação diferencial parece um pouco mais complicada do que o exemplo do objeto em queda acima. No entanto, com exceção de um pouco mais de trabalho, não é muito mais complicado. O primeiro passo é determinar onde a derivada é zero.
Podemos ver agora que temos três valores de y em que a derivada e, portanto, a inclinação das linhas tangentes, será zero. A derivada será zero em y = -1, 1 e 2. Então, vamos começar nosso campo de direção com o desenho de tangentes horizontais para esses valores. Isso é mostrado na figura abaixo.
Agora, precisamos adicionar setas às quatro regiões em que o gráfico está agora dividido. Para cada uma dessas regiões eu vou escolher um valor de y nessa região e ligá-lo no lado direito da equação diferencial para ver se a derivada é positiva ou negativa naquela região. Novamente, para obter um campo de direção preciso, você deve escolher mais alguns valores em todo o intervalo para ver como as setas estão se comportando em todo o intervalo.
y < -1
Nesta região, podemos usar y = -2 como o ponto de teste. Neste ponto nós temos
Assim, linhas tangentes nesta região terão declives muito íngremes e positivos. Também como
as encostas se achatam enquanto permanecem positivas. A figura abaixo mostra os campos de direção com setas nesta região.
1 < y < 2
Nesta região, usaremos y = 1,5 como ponto de teste. Neste ponto nós temos
As linhas tangentes nesta região também terão declives negativos e, aparentemente, não serão tão íngremes quanto a região anterior. Setas nessa região se comportarão essencialmente como as da região anterior. Perto de y= 1 e y = 2, as encostas ficarão achatadas e à medida que nos movemos de uma para a outra, as encostas ficarão um pouco mais íngremes antes de voltarem a ser planificadas. A figura abaixo mostra os campos de direção com setas adicionadas a esta região
y > 2
Nesta última região, usaremos y = 3 como ponto de teste. Neste ponto nós temos
Então, como vimos na primeira região, as linhas tangentes começarão bastante próximas de y = 2 e então, à medida que nos afastarmos de y = 2, elas ficarão bastante íngremes.
O campo de direção completo para esta equação diferencial é mostrado abaixo.
Aqui está o conjunto de curvas integrais para esta equação diferencial. Observe que, devido à inclinação das soluções na região mais baixa e ao software usado para gerar essas imagens, não consegui incluir mais de uma curva de solução nessa região.
Finalmente, vamos dar uma olhada no comportamento de longo prazo de todas as soluções. Ao contrário do primeiro exemplo, o comportamento de longo prazo neste caso dependerá do valor de y em t = 0 . Ao examinar qualquer um dos dois números anteriores podemos chegar ao seguinte comportamento de soluções como
Valor de y (0)
Comportamento como
Não esqueça de reconhecer o que as soluções horizontais estão fazendo. Esta é frequentemente a parte mais perdida deste tipo de problema.
Em ambos os exemplos que trabalhamos até este ponto, o lado direito da derivada continha apenas a função e NÃO a variável independente. Quando o lado direito da equação diferencial contém tanto a função quanto a variável independente, o comportamento pode ser muito mais complicado e esboçar manualmente os campos de direção pode ser muito difícil. O software de computador é muito útil nesses casos.
Em alguns casos, eles não são muito difíceis de fazer à mão no entanto. Vamos dar uma olhada no exemplo a seguir.
Exemplo 2 Esboce o campo de direção para a seguinte equação diferencial. Esboce o conjunto de curvas integrais para esta equação diferencial.
Solução
Para esboçar campos de direção para este tipo de equação diferencial, primeiro identificamos lugares onde a derivada será constante. Para fazer isso, definimos a derivada na equação diferencial igual a uma constante, digamos c. Isso nos dá uma família de equações, chamadas isoclinas, que podemos plotar e em cada uma dessas curvas a derivada será um valor constante de c.
Note que nos exemplos anteriores nós olhamos a isoclina para c = 0 para iniciar o campo de direção. Para nosso caso, a família de isoclinas é.
O gráfico dessas curvas para vários valores de c é mostrado abaixo.
Agora, em cada uma dessas linhas, ou isoclinas, a derivada será constante e terá um valor de c. Na isoclina c = 0, a derivada sempre terá um valor zero e, portanto, as tangentes serão todas horizontais. Na isoclina c = 1 as tangentes sempre terão um declive de 1, na isoclina c = -2 as tangentes sempre terão um declive de -2, etc. Abaixo estão algumas tangentes colocadas para cada uma destas isoclinas.
Para adicionar mais setas para essas áreas entre as isoclinas, comece em, digamos, c = 0 e suba para c = 1 e, à medida que fazemos isso, aumentamos a inclinação das setas (tangentes) de 0 para 1. Isso é mostrado na figura abaixo.
Podemos então adicionar curvas integrais como fizemos nos exemplos anteriores. Isso é mostrado na figura abaixo.
Considerações finais
Antes de passarmos a aprender como resolver equações diferenciais, queremos dar alguns pensamentos finais. Qualquer curso de equações diferenciais irá se preocupar em responder uma ou mais das seguintes questões.
- Dada uma equação diferencial, existe uma solução?
Nem todas as equações diferenciais terão soluções, por isso é útil saber antecipadamente se existe uma solução ou não. Se não houver uma solução, por que desperdiçar nosso tempo tentando encontrar algo que não existe?
Esta questão é geralmente chamada de questão de existência em um curso de equações diferenciais.
2. Se uma equação diferencial tem uma solução, quantas soluções existem?
Como veremos, é possível que uma equação diferencial tenha mais de uma solução. Gostaríamos de saber quantas soluções haverá para uma determinada equação diferencial.
Há uma sub-questão aqui também. Que condição(ões) em uma equação diferencial são necessárias para obter uma única solução para a equação diferencial?
Essa pergunta e a sub-questão são mais importantes do que você imagina. Suponhamos que derivemos uma equação diferencial que dará a distribuição de temperatura em uma barra de ferro a qualquer momento t. Se resolvermos a equação diferencial e acabarmos com duas(ou mais) soluções completamente separadas, teremos problemas. Considere a seguinte situação para ver isso.
Se nós sujeitarmos 10 barras de ferro idênticas a condições idênticas, todas elas deveriam exibir a mesma distribuição de temperatura. Portanto, apenas uma de nossas soluções será precisa, mas não teremos como saber qual delas é a solução correta.
Seria bom se, durante a derivação de nossa equação diferencial, pudéssemos ter certeza de que nossas suposições nos dariam uma equação diferencial que, ao resolver, produziria uma única solução.
Esta questão é geralmente chamada de questão de unicidade em um curso de equações diferenciais.
3. Se uma equação diferencial tem uma solução, podemos encontrá-la?
Isso pode parecer uma pergunta estranha para perguntar e, no entanto, a resposta nem sempre é sim. Só porque sabemos que existe uma solução para as equações diferenciais não significa que seremos capazes de encontrá-la.
Em um primeiro curso de equações diferenciais (como este), a terceira pergunta é a questão sobre a qual nos concentraremos. Nós responderemos as duas primeiras perguntas por casos especiais, e bastante simples, mas a maioria de nossos esforços estará concentrada em responder a terceira questão para uma variedade tão ampla de equações diferenciais quanto possível.
