CFA II-Reading 37 信用分析模型
這篇Reading放在Level 2固定收益的後半段主要有兩個意思，一是純固定收益(債券、利率)的內容已經完結(可以稍微放心?)，二是告訴我們信用風險與固定收益商品有著千絲萬縷的關係，所以我們在了解固收時必須要對信用風險分析有一些概念。
事實上若是大學畢業的人(像我)，應該不太可能在學校學習到信用風險應該如何評估，頂多只會知道當我們在考量任何非國家擔保等級(國家也不能是太隨便的國家)的有價證券價值時，都必須想到交易對手或發行者的信用風險；但是在計算題中也會將這個風險溢酬設定為一個無趣的已知數字，至少我從未在大學學過這個數字應該如何合理的去預估。
1. 首先，我們要搞清楚信用風險(Credit Risk)與違約風險(Default Risk)的差異，違約僅代表對方無法償還某一期原先約定的本息，是一個 有或無 的問題；而信用風險更關注的是違約的程度與金額的多寡。
以統計學的概念來思考，違約風險本身是一個伯努利分布(Bernoulli distribution)(當然，若考慮多個期別的違約問題就會變成二項分布)，只會有發生與不發生兩種可能，而發生的機率會定義為p(比如說丟銅板)；相對而言信用風險則是一個服從二項分布的事件的期望值(比如說丟50次銅板，若正面賺100元、若背面賠10元，算期望值)，概念上就是違約的機率分布再乘上每個違約情境可能損失的金額。
以一個極端例子加強說明，假設有一個債券非常容易違約(繳不出利息)，但名目本金卻相當小，導致信用風險其實沒那麼高(倒了就算了，反正老子還很有錢!?)；相比之下，一個投資等級的債券雖然倒債機率很低，但你可能買了很大的數量，所以只要一不小心倒債了，你就會輸很多錢；用這個概念去理解就會很好懂，而之後的整個分析其實就只是延續這個概念。
進一步說明可以將信用風險拆解成以下三個部分：
(1) 每一期的曝險金額 (expected Exposure to default loss)
這基本上就是假定不違約的話該期債券價值，後面會再詳細定義。(recall之前的章節，若我們知道利率結構與利率波動度假設等因素，我們是可以基於無套利理論，並利用倒推法算出每一期的債券理論價值)
(2) 回收率(若發生違約事件的話) (Recovery rate)
這代表若債券發生違約，我可以回收多少比例的本錢，會是一個比率，但其實也可以依據每一個期別去獨立假設。可以想見的這跟損失嚴重性(Loss severity)是相反的概念。
而我們會更關注的是給定債券違約的當期期望損失(Loss given default, LGD)，這就會是一個 金額 = 曝險金額 * ( 1- 回收率)。
(3) 每一期發生違約事件的機率 (Probability of Default, POD)
這是一個機率，但這是 "每一期"發生獨立違約事件的機率，理論上我們可以自己定義每一期有不同的違約機率；但可以放心的是在考試中都會假設每一期違約都是獨立，並只用單一機率值（p)來表示。
到現在我們應該已經很熟悉，看到這些參數就是要我們去算出累積損失金額的現值，並且把這個數字拿來作為信用風險的判斷標準。
沒錯，如果我們把 三個值相乘就會得到某一期的可能損失金額。 但這裡要注意的是，違約機率p代表的是每一期的違約率，所以第一期是p，但第二期的違約率代表第一期沒違約且第二期違約了，所以機率值是(1-p)*p，依此類推，第n期的違約機率應該是(1-p)^(n-1) *p。
概念說完了，接著用以下範例來說明：
一個五年期的零息債，折現率固定為年利3%，每一期當期發生違約的機率(POD)是1.25%，回收率(Recovery rate)是40%，試問目前的合理價值為何？
(1) 第一欄就日期，從現在(第0期)一直寫到到期日(第5期)
(2) 第二欄是每一期的曝險額，是在假設債券都不違約的前提下，每一期的債券價值，基本上會發現就是從第5期依序除以 1.03
(3) 第三欄是回收金額，就是將該期曝險額(2) 乘上回收率 40%，轉換為金額表示
(4) 第四欄是假設該期違約的損失金額(LGD)，將(2) - (3)
(5) 第五欄是恰好在該期違約的機率(POD)，依照條件機率理論，第一期當然就是P、第二期是(1-P)*P、第三期是(1-P)²*P ，依此類推；那最後累加會發現總違約機率會小於 期數*違約率的。
(6) 第六欄是債券的總存活機率(POS)，將100% - (5)，會發現債券期長是會嚴重影響到這個值的
(7) 第七欄是預期損失金額，就是把金額乘上機率算出期望值，將(4)*(5)
(8) 第八欄是折現率，沒啥特別的就是列出來讓你好算
(9) 第九欄是預期損失金額的折現值，將(7)*(8)；最後得出3.1549總和，代表這個債券的信用風險現值，因此給他一個名字叫做 Credit Valuation Adjustment(CVA)，我們知道無違約風險的債券現值是86.2609，那考量信用風險後的合理價值就是86.2609 - 3.1549 = 83.1060。
另外一種觀點是，由於實務上我們不可能確實知道上述這些假設值，所以我們要用市場價格反推。若我們去計算這個價格反映出來的殖利率(Yield，也就是IRR)會得到3.77%，而市場利率是3%，所以我們也可以說 Credit Spread是 77個Basis Point。
最後要提醒的是，現實生活中的信用情境絕對不會這麼單純，絕對是複雜得多，但基本精神不變，只要勤奮地把每一期的曝險額、違約機率、折現率找出來，理論上就可以解。
當然，考試的時候最多就只會考到例題這樣的難度(我認為是單一違約機率、單一回收率、不超過3期)，為了及格也請不需要自己節外生枝。
2. 第二個觀念是 信用點數(credit scoring)與信用評等(credit ratings)，一般自然人會使用信用點數，而法人機構才使用信用評等。
以美國來說，有不只一家公司在做信用點數評分，計算出每個人的點數，各個金融機構可以依據這套分數去衡量自然人客戶的信用狀況，當然大家都會強調這些分數的參考依據不會是種族、年齡、性別，只與金融行為有關，跟台灣的聯合徵信中心滿像的，但我認為這應該就是一個參考性的標準，不太可能只用這個點數就能判斷客戶的信用風險，考試上就只要記得信用點數是自然人使用的即可。
而法人機構的信用評等就是我們常見的三大評等公司(S&P, Moody’s, and Fitch)評出來的等第，後來因為評等機構之間相互競爭的關係，為了提供更 "Insightful”的信用訊息，除了當前該機構的信用評級(“letter grade”)之外，又增加了信用風險的未來趨勢(“outlook”)(Positive, Stable or Negative)。
值得一提的是，法人機構可能會發各種形式的債，而信用評等一般是針對優先順位的無擔保公司債 (senior unsecured debt)作評價，其他償還順位的債券就必須依據這個評級所推算出的信用風險再去做相對應的增或減(notching)。
這裡較為重要的觀念是 信用等級的漂移(Migration of Credit risk)，主要是在探討一個問題：既然我們知道同一家公司的信用等級是會不斷改變的，那如果已知一個公司債目前的信用評等，要如何推估未來的信用評等，進而推知未來的信用風險是多少呢？
我們首先會建立一套模型，去定義本期(已知)的信用評等，下一期會偏移到何處的，這組模型可以從歷史研究歸納，也可以自行假設出一個機率分布，而通常在題目中會給定。
例如，目前AAA級債券，在下一期有90%機率維持在AAA級，9%機率降為AA級，0.6%機率降為A級，依此類推...
而當我們將各個信用評級與偏移的機率決定之後，其實就可以畫出一張信用漂移矩陣(Transition Matrix)。
注意矩陣的最下面一列是Credit Spread，而中間的值則是當前信用評等從最左欄漂移到最上方列各格的機率值，所以我們就可以推算得出來，下一期經過這樣的漂移後，債券的Credit risk 會變化多少 (Simply just Probability * increment of credit spread)，進而推算出債券價格應該變化多少。
我們會發現，評等高的債券，會面臨難升易降的局面，因此信用漂移通常會估計出更高的信用風險；另一方面Credit spread下降幅度本身沒有上升的劇烈，這兩點都會讓信用漂移模型的估計值 向低評等偏斜(Skew toward downgrades rather upgrades)。
3. 如何解釋信用事件的發生？
我們知道信用事件會發生就是因為公司還不出錢來，所以違約。但好事者還是會想要分析、了解甚至預判信用事件發生的原因與機率，這邊就簡單介紹兩種模型的概念：架構模型(Structural models) 與 縮減式模型(Reduced-form models)，這裡只考觀念，若要考試及格只要讀懂課文即可。
還是整理了一些網路上的資料，給有興趣深究，但沒有讀過比較高深的統計學或讀過忘記的人參考：
結構式模型會假定一些因果關係必然存在，以信用風險的例子，會將買入一家機構的股權與債權視為一種 實質選擇權(Real Option)：股東相當於是買入一個連結標的為公司總資產的買權(buy Call on firm’s Asset)，其履約價格就是債務總額(Debt)；相對的，債權人相當於擁有公司總資產，並且賣出連結標的為公司總資產的買權(Covered writing Call on Asset value)。 (詳情請參考 Corporate Finance章節，並非本篇重點)
而信用風險的結構式模型假設若資產價值(標的物價值)低於債務價值(履約價)，就會發生違約，這好像是一句廢話，但他建立了因果關係，所以後續的問題只剩下：何種狀況會讓資產價值低於債務價值？然後，如何取得推知因果關係的數據？
這確實是一個很具體有效的因果關係(資產低於負債就會違約)，但困難點在於有太多因素會影響資產價值與債務價值，而這些因素又幾乎是不可能被公司外部人知悉的，所以在實務上會很難操作與使用。
而縮減式模型則是放棄去解釋 "為何違約事件會發生"，轉而關注 "何時會發生違約事件"，我們可以透過歷史資料的回歸分析來估計，因為其實對於一個投資人來說，知道甚麼時候發生遠比知道為甚麼發生好用許多。
好處是這些公開資料較容易取得；由於結構式模型必須要先定義因果關係，若因果關係與實際情況不相符，會完全不能使用，而縮減式模型只針對因子的相關性做回歸，避開了定義因果關係的過程。
4. 我們進一步將信用風險的概念與前兩篇Reading的無套利條件評價模型合併討論，概念上就是將前面提到的信用風險評估表中的每一期曝險額(第2欄)，用一組無套利假設的二元樹模型(過程中會算出各期的債券價值期望值)來代換，二元樹模型要先假設每一期都沒有違約，才有辦法使用倒推法，所以也叫做VND (Value of No Default)。
以下固定利率債券與浮動利率債券各舉一個例子來說明整套運算流程：
假設一個無隱含選擇權，5年期，固定年利3.5%的債券；市場條件只給on-the-run政府公債利率(par rate)，市場利率的年化波動度為10%；信用狀況是年化違約率是1.25%，回收率60%；求 合理價格? CVA &Credit Spread?
Step 1 順便複習最基本的利率拔靴法 (這邊再偷用一下THC的Model)，左邊第2欄是給定的市場利率(on-the-run gov’t bond issued at par)，要自行推出即、遠期利率(最右邊兩欄)，再取倒數變成折現率(Discount Factor)。
Step 2 使用利率波動度假設建構一組5年期的利率二元樹結構(不會建構二元數模型？回去重讀Reading 35)。
Step 3 建構各期無套利假設二元樹模型，並計算各期VND；各期的VND是每個節點的價值依照發生機率做加權平均，記得要再加上該期應收利息。
如第1期末是 [(0.5×98.4820)+(0.5×101.0803)]+3.5 = 103.2862，依此類推。
Step 4 找到各期VND後，代入信用風險評估表的預期曝險金額欄位。
Step 5 會計算出 CVA= 3.5394，所以本債券經過信用風險調整後合理價值為 103.5450 - 3.5394 = 100.0056 (per 100 of par value)
Step 6 再利用IRR公式反推殖利率 YTM=3.4988%，與相同期長(5年期)即期利率比較，3.4988% -2.75%=0.7488% 即為 Credit Spread。
其實運算並不困難，只要願意勤奮地把二元樹跟信用風險評估表畫出來，就能解題。
值得一提的重點是，利率波動度對信用風險的影響相對較小，意即若波動度上升，信用風險幾乎不變甚至微幅下降；這是因為我們的VND仍然是源自於無套利假設，所以各期的利率仍然會圍繞著利率結構散開("rates are spread out around the implied forward rate for each date")，而小幅上揚的主因是因為二元樹模型並非對稱的，為了讓利率是非負數所以是Log-normal分配，會網利率較高處偏斜，這導致VND較低，而CVA也偏低。
若要評估浮動利率債券，概念也是一樣的：假設一個5年期浮動利率債券，利率每年重設為1年期Benchmark(一般就是當下的即期政府公債利率)外加0.5%(這50個基點稱為 quoted margin)。
同理，將各期VND代入信用風險評估表，算出CVA。
綜上，合理價值 = 102.3633 - 2.4586 = 99.9047 (per 100 of par value)
但由於利率是浮動的，我們並不會去計算殖利率(YTM)，但我們會轉而評估Discount Margin(DM)，這個值相當於每一期的浮動利率要再外加多少點數以反應信用風險，以換算出這個合理價值，課文只提到使用 試誤法，或是EXCEL的 GoalSeeker、Solver等功能，也就是沒有要教你算的意思！ 考試跟題庫裡面其實也都沒有浮動債券的DM問題，因此就自行參考。
5. 信用結構 (Term Structure)
既然信用風險與固定收益息息相關，也會用利率結構的方式來觀察信用，簡單的說就是將想要評估的債券殖利率去減掉一個基準利率(Benchmark)，並將各個期別的利差(視為信用風險溢酬)依照期長連線起來。
幾個敘述性的重點：
(1) 信用結構是用 無隱含選擇權、無擔保一般順位債券描繪出來的，當然不可能個發行者都會發出好幾個期長，一樣條件的債券；再加上你所面對的市場可能也沒有合理的無風險債券做基準(通常是用政府公債或高流通性的銀行間SWAP價格)，若市場上沒有你想要的信用、利率或期長條件資訊，可以用內插法估
(2) 由於信用漂移的緣故，信用評等較高的債券，會面臨較大的下調風險，因此信用結構通常會稍微正斜率
(3) 而信用評等低的債券因為對信用循環的敏感度較高，一般會有更陡峭的正斜率結構
(4)但如果信用評等低的債券，因為太容易發生違約，債券價格並不會貼著基準債券再外加信用風險溢酬，而是直接貼著他自己的回收率，導致無論長短天期都交易在一樣的價格(也就是回收率)，再去計算殖利率就會出現倒掛的現象。
(5) 若是財務狀況不好但即將面臨被好公司併購時，或是具有產業周期性的公司債，在周期低點時也可能會有短天期信用風險較高，但長天期信用風險較低的現象。
6. 資產證券化信用分析
最後提到幾個在固定收益領域做資產證券化會遇到信用問題，證券化的概念相當於有個發行商先去購買了一些資產(可能是大型不動產開發、債券或一般債權(例如銀行的信用貸款、車貸、房貸))，然後打包成一個商品(發行商可能會為了避免自己的資產負債表過度膨脹，採用SPE(Special Purpose Entity)的方式)，將他規格化、標準化再賣給投資人，這有個好處是可以提高原始資產的交易流動性，也可以讓資產持有人有個安全下莊的機會；對投資人來說證券化的商品將較大型的專案拆解成小的單位，可以用較少的資金參與這些原先不太可能拿得到的標的。
這裡要注意的信用問題有以下幾點：
(1) 證券化商品的契約條件：是否有擔保品、是否付有追索權( Recoursement)？
(2) 證券化商品發行商/服務提供方：對投資人來說發行商是交易相對人，也要注意他的信用風險，而周邊服務的提供方也很重要，如帳務紀錄、基本的資料整理等是否完整；另外也要注意是否有提供什麼credit enhancement，例如超額擔保、信用分層(Trenching)等。
(3) 證券化商品內含標的的狀況：要注意的兩個點 a. 均值性(homogeneity) 和 b.粒度(granularity)，內含標的的均勻性越高，風險就越明確，也許風險並非較低，但至少投資人事前需要處理的風險評估成本就越少(比如說都是住宅房屋貸款)；粒度代表內涵標的每個個體占整體的比例，若占比越低就是粒度越大，內部的個體雖然個別的信用風險偏高，但應該不會一次全部一起違約，所以整體而言信用風險其實是較低的(比如說信用卡貸款)。
這篇reading我覺得很淺顯的講解了Credit Analysis在做的事情，雖然感覺沒有很深入，但才疏學淺我也沒辦法生出比課文更豐富的內容，只能說反正考試是沒有考這麼細，so it’s good to know, not mandatory.
2019.08.22
