확률의 개념

확률현상은 불확실성에 대해 좌우되는 현상이다. 확률현상에 대해 현실에서 실험하는 것을 확률실험(ε)이라고 한다. 확률현상에서 얻어질 수 있는 모든 결과를 표본공간(Ω) 이라고 한다. 또한 표본공간의 부분집합을 확률사건(E,Event)라고 한다. 한 확률실험에서 ‘어떤 사건이 일어나리라고 예측되는 정도를 나태내는 수치'를 그 사건이 일어날 확률이라고 한다.

확률의 3공리

확률은 3가지 공리(axiom)를 가지고 있다. 모든 확률 법칙은 위 공리를 기반으로 설명된다. Ω 가 확률 실험(ε)의 표본공간이고, F가 Ω에서 모인 적당한 모임이라고 가정을 하자. 확률의 집합함수 (P:F→R) 는 다음의 공리를 만족한다.

  1. 모든 E ∈ F 에 대하여, P(E) ≥ 0 이다.
  2. P(Ω)=1 리다.
  3. 상호배반인 F의 수열 {En}에 대해 다음의 식이 성립한다.

조건부 확률

일반적으로 확률은 여러가지 확률적 사건이 동시에 일어난다. 이러한 확률들의 관계와 조건을 파악해서 계산을 하여야 한다. 조건부 확률은 둘 이상의 확률사건의 종속관계를 설명하는데 쓰인다.

주어진 확률공간(Ω, F, P)에서 E1,E2∈ F이고, P(E2) >0이라 하자. 조건부 확률은 다음과 같이 정의를 한다.사건 E2가 일어났을 때를 가정하고, 사건 E1이 일어날 확률이다.

첫번째 버스를 놓치면 두번째 버스를 놓칠 확률이 얼마인지 알아보자.

  • 첫번째 버스를 놓치고 두번째 버스를 탈 사건(A)의 확률은 0.07이다. 목적지 도착시간은 10:00에서 10:05분으로 딜레이가 된다.
  • 두번째 버스가 10:00~10:05 사이에 도착할 확률은 0.9이다. 이후에 도착할 확률은 0.1이다.

조건부 확률은 몇가지 정리가 있는데, 중요한 부분부터 살펴보겠다.

전확률의 법칙

확률사건( E1,E2….)이 Ω에 귀속이 되고, P(E1,E2….) >0 하자. 이때 임의의 사건 F에 대하여 다음의 법칙이 성립한다.

모든 조건확률의 합은 조건이 없을 때의 합과 같다는 의미이다.

베이즈의 법칙

확률사건( E1,E2….)이 Ω에 귀속이 되고, P(E1,E2….) >0 하자. 이때 임의의 사건 F에 대하여 다음의 법칙이 성립한다.

베이즈 법칙은 사건 F가 일어날 원인이 Ej에 있을 확률이다. 조건부 확률이 “어떤 사건이 A가 일어났을 때, B가 일어날 확률”을 구한다면, 베이즈 법칙은 “B가 일어났을 때 그 원인 A일 확률”을 구하는 것이다.

예제를 통해서 살펴보겠다. 마이너리티 리포트 처럼 사람들이 범죄를 저지를 확률을 알수 있다고 해보자. 도난 사건(E)이 발생했는데, 용의자는 A,B,C 이다. 이 도난사건이 A가 일어날 확률을 찾아보자.

  • 범행현장에 있었을 확률이 A=0.5, B=0.3, C=0.2 이다.
  • 범행현장에 있었을 때, 각자 범행을 저지를 확률이 A=0.01, B=0.02, C=0.03 이라고 가정을 해보자.

베이즈 정리에 따르면 식은 다음과 같다.

사건의 독립

A,B 두사건이 발생할때, A사건의 발생이 B사건의 발생에 확률적으로 영향을 주지 않을 때 위 사건을 독립사건이라고 부른다. 앞서 이야기 한 ‘버스 놓치는 확률’이 대표적인 독립사건이다. 내가 첫 번째 버스를 놓쳤다고 해서 두 번째 버스가 늦게 오지 않는다.식으로 표현하면 다음과 같다.

P(A|B)=P(A)P(B)


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