Matemática, ¿para qué?
“Más importante que aprender a sumar fracciones es el hecho de que estar en contacto con la matemática ayuda a distinguir un argumento correcto de uno falaz. Sin esta habilidad, una sociedad se transforma en una manada fácilmente manipulable”.
La frase del encabezado pertenece a Vladimir Arnold, el enorme matemático soviético que además de haber hecho grandes aportes a la disciplina y ciencias afines, se preocupaba mucho por la enseñanza y la popularización de la matemática, pero sobre todo por el rumbo que tomaba como construcción colectiva mientras transcurría el Siglo XX.
Entre sus hitos, seguramente el más rimbombante sea el de haber resuelto el problema trece de la lista de Hilbert a los diecinueve años, cuando era alumno de Andrey Kolmogorov, uno de los matemáticos más importantes del siglo.
Arnold demostró que cualquier función continua que depende de muchas variables, puede ser construída con una cantidad finita de funciones continuas que dependen sólo de dos variables cada una. Un resultado que adquiere mucho valor en tiempos de deep learning, aunque ciertamente esto no es lo que le preocupaba a Arnold en 1957. Ni que hablar a Hilbert en 1902, cuando hizo la listita.
La lista de Hilbert constituyó durante todo el Siglo XX un compendio de los problemas más importantes para la matemática y ciertamente guio la investigación en el área a lo largo de toda la centuria. Hilbert incluyó el problema trece porque estaba preocupado por conseguir expresiones para las raíces de polinomios de grado siete.
La matemática recreativa se autodefine con su nombre. Matemática para recrearse. A simple vista, no se vislumbran otros objetivos. Frecuentemente, problemas plausibles de ser catalogados con esta etiqueta, son en realidad mucho más que eso. Problemas profundos y complejos son simplificados una y otra vez hasta llegar a un enunciado simple, tratable, atractivo y (con suerte) divertido. Otras veces no está todo ese bagaje por detrás, pero es deseable no perder de vista la frase de cabecera de Arnold.
Para muestra, basta un botón. La paradoja del cumpleaños es un problema relativamente simple de enunciar y resolver. Dice así:
¿Cuántas personas tiene que haber en un grupo para que la probabilidad de que haya al menos dos que cumplen el mismo día sea mayor a 50%?
El apelativo paradoja viene a cuento de que la respuesta al problema va en contra de nuestra intuición, al menos en una primera pasada.
La solución va al final de la nota, pero lo que quiero remarcar acá es que un aparente problema de matemática recreativa puede tener consecuencias mucho más allá del pasatiempo. No es siempre ese el caso, pero lo es esta vez. La paradoja del cumpleaños es además muy relevante porque, si nos detenemos a meditar sobre ella, nos enseña sobre la muy mala intuición que tenemos respecto de las casualidades. Interpretar incorrectamente las coincidencias puede llevarnos a tomar muy malas decisiones. La historia universal está repleta de ejemplos. Acá va uno.
Sharad Goel, Marc Meredith, Michael Morse, David Rothschild y Housmand Shirani-Mehr publicaron recientemente el artículo One Person, One Vote: Estimating the Prevalence of Double Voting in U.S. Presidential Elections, en donde analizan las elecciones presidenciales de 2012 en Estados Unidos a raíz de los estudios de Crosscheck que sugerían multiplicidad de casos de fraude.
El Programa interestatal de registro de votantes Crosscheck se dedicó a buscar posibles votantes registrados en más de un estado y que pudieran haber votado dos veces. Encontraron 1,4 millones de pares de registros con igual nombre de pila, apellido y fecha de nacimiento. Todos ellos fueron marcados como potenciales casos de votantes duplicados.
La paradoja del cumpleaños nos enseña que la probabilidad de encontrar 1,4 millones de parejas (entiéndase por personas que coinciden en nombre, apellido y fecha de nacimiento) en un grupo de 130 millones (votantes) es relativamente alta, lo cual desestima la hipótesis de votantes duplicados y refuerza la de personas distintas que “casualmente” (¿?) tienen mismo nombre, apellido y fecha de nacimiento.
Hacemos notar aquí que ambos problemas pueden ser puestos en la misma familia. Se trata de armar grupos con las personas que comparten nombre, apellido y año de nacimiento y preguntarse qué tan probable es encontrar en ellos parejas que cumplen el mismo día. Alternativamente, ¿cuántas parejas esperamos encontrar en estos grupos? Por ejemplo, encontraron 8575 boletas emitidas bajo el nombre John Smith, de los cuales 141 nacieron en 1970. La probabilidad de encontrar una pareja (mismo día de cumpleaños) en un grupo de 141 personas es 0,99999999982 y el número esperado de parejas es 27, exactamente el número encontrado en los registros. Arnold y su concepto nuevamente en acción.
El programa Crosscheck actualmente se encuentra muy desacreditado por su imprecisión y otro tipo de problemas. Al punto tal que ocho estados se retiraron de él.
La paradoja del cumpleaños ha encontrado también aplicaciones en diversos campos. Desde el cálculo de probabilidades de fenotipos en medicina (relevante para encontrar donantes compatibles para trasplantes), hasta la resolución de controversias legales alrededor de coincidencias parciales en perfiles de ADN. En el medio, el Ataque del cumpleaños es un tipo de ataque criptográfico que explota la paradoja del cumpleaños para vulnerar la seguridad de un sistema (hackear).
Recientemente en España, Francia y Gran Bretaña se encargaron informes para medir el impacto de la investigación en matemática a nivel socioeconómico. Los resultados son coincidentes y concluyen que la matemática es un “conocimiento estratégico que genera alto valor agregado en virtualmente todos los sectores de la economía”. En los tres países las carreras vinculadas a la matemática han tenido un crecimiento explosivo en los últimos años.
La revolución de los datos puso a la matemática nuevamente en el centro de la escena. No es la primera vez. La revolución industrial, que había demandado grandes cantidades de mano de obra educada en cuestiones cuantitativas, se nutrió a su vez de importantes desarrollos matemáticos y científicos. Cuesta separar la invención del cálculo infinitesimal (derivadas e integrales y con ellas el cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales) por Leibniz y Newton a fines del Siglo XVII y la catarata de desarrollos tecnológicos y científicos que desató, de la gran revolución que se produciría pocos años después.
Por su parte, el avance de las computadoras durante el Siglo XX, brindó la posibilidad de tratar matemáticamente infinidad de problemas de diversas disciplinas científicas y tecnológicas con técnicas matemáticas que hubieran sido impensadas pocos años antes. Esa revolución continúa día a día conforme avanza el poder de cómputo.
En la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA estamos discutiendo la creación de una nueva carrera con mucha matemática, computación y datos. Las discusiones son muy fructíferas porque intervienen investigadores y docentes de las diversas disciplinas involucradas. ¿Para qué una nueva carrera? El boom de big data está demandando en forma creciente recursos humanos capaces de resolver la infinidad de problemas — algunos ciertamente muy desafiantes — que nos presenta, pero no es esa nuestra motivación exclusiva. Queremos formar profesionales con sólidos conocimientos en todas estas áreas y con espíritu y pensamiento científico (y en particular matemático), en el sentido de Arnold. Graduados que por haber estado en contacto con matemática profunda, tengan capacidades de abstracción y pensamiento lógico que los distingan. Capacidades que les permitan encarar problemas complejos con una perspectiva distinta y, además, ya listos para interactuar con diversas disciplinas científicas, tecnológicas y el sector productivo.
Graduados con esta formación son esenciales para poder agregar valor a lo que producimos y para brindar servicios con alto nivel de sofisticación. Ambas cuestiones son imprescindibles si queremos un país para cincuenta millones de personas.
Matemática para hacer satélites y para disfrutar de su belleza, para cultivar el intelecto y para distinguir un argumento correcto de uno falaz, para potenciar nuestras posibilidades productivas y para desarrollar el pensamiento crítico y riguroso a la vez. Para incentivar la creatividad y para aprender a lidiar con situaciones complejas. Para hacer puentes y aviones y para no convertirnos en una manada fácilmente manipulable. ¿Hace falta algo más?
*Para que las chances de encontrar dos personas que cumplan el mismo día sean superiores al 50% alcanza con tener un grupo de 23 personas. Si el grupo tiene 50 personas, las chances se elevan a 97%. Pueden encontrar una discusión más amplia del problema (con la justificación de la solución incluida entre otras cosas) en este hilo de twitter
