Paradoja de la hoja de pasto

[Este texto es parte del libro Abrazar el azar]

Podés conseguirlo acá.

En enero de 1997, quien escribe viajaba por la frontera entre Bolivia y Perú, bordeando el Lago Titicaca. Por esos tiempos, no había ni redes sociales, ni wifi. Los teléfonos celulares eran algo relativamente exclusivo y el correo electrónico daba sus primeros pasos como medio de comunicación utilizado masivamente. A esa altura, todavía era largamente superado por el teléfono fijo enchufado a la pared de cada hogar. La principal herramienta de comunicación a distancia entre personas consistía en llamar a la única línea de teléfono que compartía cada familia y pedir con la persona con quien uno deseaba comunicarse.

Una hermosa chica que también buscaba ir desde la Copacabana boliviana hacia Puno, en Perú, capturó mi atención. Tanto lo hizo que terminó siendo el gran amor de mi vida, compañera de innumerables aventuras, madre de mi hijo y de mi hija y la persona que firmó la libreta de casamiento junto a mí el día que decidimos hacerlo.

Cuestión que, al poco tiempo de conocerla, ya de vuelta en Buenos Aires, la ciudad en que ambos casualmente residíamos, esa chica que conocí por azar en la frontera me cuenta, así sin más, que descubrió que tiempo atrás yo había tenido su número de teléfono en mis manos. Que una amiga de un amigo me lo había pasado para que la llame y que mi timidez, o vaya a saber qué otra cuestión, me había frenado de hacerlo en su momento. Y resulta que el azar decidió darnos una segunda oportunidad. Asombrados por la coincidencia, asumimos que semejante evento tenía que ser una señal y así fue como nos casamos, tuvimos un hijo y una hija y formamos una familia. “Está escrito en las estrellas”, dijo mi tía. Lo mismo había dicho el día en que nací, que resultó ser el día siguiente al día en que nació mi hermano mellizo, y un día antes del primer aniversario de mi hermana mayor, lo que hizo que nos convirtiéramos en la primera terna de hermanos que cumplen años en tres días consecutivos conocida por la familia. Para el registro, ese día es el mismo día que el aniversario de Einstein y el –ahora declarado por la UNESCO– Día Internacional de la Matemática.
¿Será que fueron señales? ¿Habrá algo así como los destinos que están escritos en las estrellas? Veamos.

En la contratapa de Página/12 del 12 de octubre de 2014, el maestro Adrián Paenza nos cuenta el problema de la falacia del jugador. Ahí, Adrián nos dice que el 18 de agosto de 1913, en una de las ruletas del casino de Monte Carlo, salió el color negro 26 veces seguidas. Adrián hace esa observación para hablarnos de nuestra tendencia a creer que, luego de una seguidilla de negros, aumentan las chances de que salga un colorado, pero acá la vamos a usar para otra cosa. Eventos como esos 26 negros seguidos no pueden dejar de llamar nuestra atención y hacer que intentemos buscar una explicación para semejante acontecimiento. Ante estas situaciones, suelen esgrimirse todo tipo de teorías, desde las más conspirativas hasta las basadas en supersticiones, creencias religiosas y señales divinas o de otro tipo.

El 26 de abril de 2017, Trevor Bauer, jugador del equipo de baseball Cleaveland Indians, tuvo un registro de 6–0 contra los Houston Astros. Luego del encuentro, los periodistas se abalanzaron para preguntarle por la causa de tan notable rendimiento. “Random variation” (variación aleatoria) fue su respuesta. Y concluyó su frase, respecto de semejante racha, con un “ya se va a acabar”. Pocas veces escuchamos a los protagonistas de este tipo de proezas dar esta clase de explicaciones, aunque parece bastante acertada. Ya pasamos por este tema otras veces. Cuando un experimento (aleatorio) se repite muchas veces, necesariamente pasan cosas extrañas. Suena a contradictorio –si son extrañas, ¿cómo es que estamos tan seguros de que van a pasar?, ¿no es eso justamente lo contrario a ser extraño?–, pero no lo es. Va de nuevo. Cuando un experimento aleatorio se repite muchas veces, necesariamente pasan cosas extrañas.

Hay unos 5.000 casinos alrededor del mundo, con diferentes características, cantidad de mesas de ruleta, horas de apertura diarias, etc. Como estamos interesados en el orden de magnitud de la cantidad de lanzamientos de ruleta que se han hecho hasta ahora, vamos a hacer algunas estimaciones y tomar algunos promedios. Asumamos que hay, en promedio, 3 ruletas por casino y que en cada ruleta se hacen 100 lanzamientos diarios. Eso nos da unos 1.500.000 lanzamientos diarios de ruleta. Tomemos un período de unos 50 años. La cantidad total de casinos en el mundo fue variando a lo largo del tiempo. No siempre hubo los 5.000 que tenemos ahora. Así que vamos a considerar solo medio siglo y no uno o dos. Il Ridotto, un pequeño casino en Venecia, posiblemente el primero en la historia, abrió sus puertas en 1638 y el juego de la ruleta data del siglo XVIII. Cincuenta años parece bastante conservador. Eso nos da una cantidad de 27.375.000.000 lanzamientos de ruleta.

Ahora vamos a hacer algo que nos desvía un poquito de nuestra pregunta original, pero nos va a servir para darnos una idea de qué tan extraño es eso que pasó el 18 de agosto de 1913, en Monte Carlo. Vamos a pegar todos los lanzamientos de ruleta y armar una enorme tira de 27.375.000.000 lanzamientos de ruleta. Además, vamos a identificar negro = cara, colorado = ceca. Y vamos a asumir que no hay cero, doble cero, etc., lo que, para esta cuenta que queremos hacer, no es un problema. Luego, vamos a partir esa enorme tira de caras y cecas en pedazos de longitud 26. En total, hay 27.375.000.000 ÷ 26 = 1.052.884.615 de esos pedazos (y nos sobran 10 lanzamientos que no son importantes). Vamos a calcular la probabilidad de que alguno de esos pedacitos de 26 resultados de lanzamientos de monedas sean todos “cara”. Esta es una pregunta distinta a la original y, de hecho, es una subestimación bastante conservadora, porque la probabilidad de que haya una secuencia de 26 caras seguidas es mucho más alta. Eso se debe a que, en nuestra nueva pregunta, solo estamos considerando las secuencias que empiezan en el lugar 1, 27, 53, 79, etc. Esto simplifica mucho nuestro problema y nos da una estimación lo suficientemente valiosa.

Acá podrían criticarme el hecho de que pegamos todas las secuencias de todos los casinos, de todas las ruletas, de todos los días y, si una racha de 26 negros se da con 14 negros en un casino y 12 en otro, a nadie se le ocurriría contarla como una racha de 26 negros seguidos. Al lector crítico lo invito a descontar todas esas secuencias. Todas las que resultan de pegar un cacho de una ruleta con un cacho de otra. O un cacho de un día con un cacho de otro día. La conclusión final no cambia en su esencia.

Entonces, tenemos un nuevo problema de caras y cecas, o mejor usemos ceros y unos para no confundirnos. Vamos a marcar cada pedazo de longitud 26 con un 1 si todos sus lanzamientos resultaron en cara y con un 0 si no fue así.
Ahora, tenemos una secuencia de longitud

7.375.000.000 ÷ 26 = 1.052.884.615

de ceros y unos. La gran mayoría van a ser ceros, porque la probabilidad de obtener un 1 en un lugar determinado de esta secuencia es (1/2) elevado a la potencia 26 (tenemos que obtener cara en todos los lanzamientos). Pero… ¿habrá algún 1? O, mejor dicho, ¿cuál es la probabilidad de que haya un 1 en esta secuencia? Esa cuenta no es muy difícil y la estrategia para llevarla a cabo ya la usamos varias veces. Vamos a calcular la probabilidad de que eso no pase. Para eso, la secuencia tiene que tener 0 en todos sus lugares, y esa probabilidad es:

En otras palabras, no es sorprendente que un día, en algún casino, en algún lugar del mundo haya habido una racha de 26 negros seguidos. Lo que sería sorprendente es que eso no hubiera ocurrido nunca.

Para cerrar, una última advertencia. Ojo que preguntarse por probabilidades de cosas que ya pasaron es peligroso. Los 26 negros seguidos tienen la misma probabilidad de ocurrir que cualquier otra combinación de rojos y negros. Por ejemplo, la probabilidad de obtener en 26 tiros seguidos la siguiente racha
(R=Rojo, N=Negro):

RNRNRNRNRNRNRNRNRNRNRNRNRN,

es (1/2)^26. Pero también vale eso la probabilidad de obtener:

RRNRNNRNRRRRNRNNRNRNRNRNRN.

Combinaciones similares a estas salieron un montón de veces y ninguna nos llamó la atención. Pero podemos preguntarnos, y eso sí es legítimo, cuál es la probabilidad de que eso vuelva a pasar en los próximos 50 años. Que, en algún lugar del mundo, en una ruleta, salgan 26 negros seguidos. Las chances de que eso ocurra son, al menos, 99,9999887464825 %.

Diaconis y Mosteller escribieron un artículo en 1989, sobre métodos para estudiar coincidencias. La mayor parte de las coincidencias con que solemos toparnos en nuestras vidas se explican de manera similar a la que se explica la increíble racha de 26 negros seguidos. Son diferentes manifestaciones del mismo fenómeno que vimos al principio del capítulo 1, donde vimos la necesidad de existencia de personas sumamente exitosas por causas que van más allá de sus propios méritos*; o en la paradoja del cumpleaños. Diaconis y Mosteller lo llaman la ley de los números realmente grandes: si repetimos el experimento muchísimas veces, veremos ocurrir cosas sumamente extrañas. También acá
vale la pena recordar lo que vimos en el teorema de Borges, donde lidiamos con eventos de probabilidad tan, pero tan baja que, aun repitiendo muchísimas veces el experimento, no los veremos. Así que no hay almuerzo gratis, en cada caso hay que hacer las cuentas.

Diaconis también gusta de usar el término paradoja de la hoja de pasto para un fenómeno vinculado a este, pero levemente distinto. Si apoyamos nuestra mano en el pasto, con seguridad tocaremos alguna hoja en particular. Si nos hubiéramos preguntado por la probabilidad de tocar exactamente esa hoja, antes de apoyar nuestra mano, hubiéramos llegado a la conclusión de que esa probabilidad es bajísima. Sin embargo, ahí estamos nosotros tocando esa hoja que tan baja probabilidad tenía de ser tocada. Similar a lo que ocurre con el ganador de la lotería. Para cada uno de nosotros, la probabilidad de ganar la lotería es muy baja, pero alguien la tiene que ganar; o el mazo de cartas bien
mezclado que tendrás en tus manos próximamente. La probabilidad de que ese orden de las cartas del mazo que vas a tener luego de mezclarlas haya sido visto, alguna vez en la historia de la humanidad, por un ser humano es tremendamente menor a la probabilidad de que todas las moléculas del aire que te rodea decidan alejarse de vos y dejarte sin oxígeno para respirar. Y, sin embargo, ahí lo tendrás, en tus manos.

John E. Littlewood, gran compañero de aventuras de Hardy, decía que un evento podía ser considerado sorprendente si su probabilidad de ocurrencia era de uno en un millón. Parece justo. Pero debemos recordar que, en un país como Argentina, de casi 50 millones de habitantes, si cada uno de nosotros es expuesto diariamente a una posible coincidencia, es decir, un evento sorprendente, esperamos entonces tener unos 50 eventos sorprendentes diarios. Ni que hablar si cada uno de nosotros es expuesto varias veces en un día a esa posibilidad, como ocurre en los hechos (al cruzar la calle, en la parada del próximo colectivo, en el propio colectivo, durante el almuerzo en el trabajo, etc.). Si somos expuestos unas diez veces diarias, deberíamos esperar unos 500 hechos sorprendentes por día. Casi 200.000 por año, solo en Argentina. Los programas de noticias tienen para hacerse una panzada diaria con eso. Más ahora, que con las redes sociales es mucho más fácil enterarse rápidamente de todos esos eventos sorprendentes que ocurren a diario. Tal vez no deberíamos sorprendernos tanto al ver un hecho sorprendente. O sí. Sorprenderse es inevitable, pero no parece recomendable ir mucho más allá de eso. Random variation, diría Trevor Bauer.

*Otro tipo de cuestiones que exceden a la matemática también están involucradas; fundamentalmente, tienen que ver con las cosas a las que no prestamos atención y las que sí decidimos recordar.