Nomes e Quantificadores

Cap. 3 de “Logic: A Very Short Introduction” (Graham Priest, 2000)

Capítulo misturado à aula “Everything and Nothing” (Robert Curtius Lecture of Excellence), também do Graham Priest , e ao cap. 6, seção 5, “Quantificadores e fórmulas gerais”, do livro Introdução à Lógica, de Cezar A. Mortari.

Com as ferramentas já expostas, podemos formalizar muitos argumentos; mas nem todos. Por exemplo:

premissa: Aristóteles é um filósofo.

conclusão: Alguém é um filósofo.

A primeira linha pode ser formalizada como Fa, sendo F a propriedade de ser filósofo e a a constante referente a Aristóteles. Fa: Aristóteles é filósofo. Mas e a segunda linha? Não podemos atribuir a “Alguém” uma constante qualquer, porque toda constante individual se refere a um indivíduo determinado, como Aristóteles, ou Beatriz, ou a gata Mona. Na conclusão do exemplo, embora estejamos nos referindo a um indivíduo, não sabemos qual é. Sabemos apenas que ele existe.

Uma variável — como x — , apesar de genérica, também não seria suficiente, já que ela não indica se é um certo x ou qualquer x. Por exemplo: dizermos que, dentro do conjunto de números naturais, “qualquer que seja x, x < 2” está incorreto, já que muitos números naturais são maiores que 2 (3, 4, 5…). Já dizer que “existe ao menos um x tal que x < 2” é correto, pois 1 é menor que 2.

A diferença entre a primeira e a segunda frase está no quantificador. O quantificador é a quantificação de uma variável — algum, todo ou nenhum x. Quando dizemos que “existe ao menos um x tal que x < 2”, aplicamos um quantificador existencial, que afirma que existe pelo menos um. Isto é, algum x existe. O símbolo que representa o quantificador existencial é o ∃ (“E invertido”. Em sentenças, lê-se “existe um”).

Para dizermos que alguém que é filósofo, ou seja, que existe ao menos um x, no conjunto em questão, que tem a propriedade de ser filósofo, dizemos ∃x Fx. Considerando um conjunto de todas as pessoas que já existiram, incluindo Aristóteles, é válido concluir:

Fa

∃x Fx

Isso porque, se Aristóteles é filósofo, ele está no subconjunto de pessoas que são filósofas. Então esse subconjunto inclui no mínimo um indivíduo; não há como Aristóteles ser filósofo sem que alguém seja filósofo. Por isso, não há como a premissa ser verdadeira e a conclusão ser falsa.

Voltando ao exemplo dos números naturais, quando dizemos que “qualquer que seja x, x < 2”, estamos utilizando um quantificador universal. Esses são os quantificadores que correspondem ao todo; a cada objeto do universo; a qualquer objeto. O símbolo do quantificador universal é o ∀ (“A invertido”). Tomando o conjunto correspondente a Aristóteles, Sócrates e Platão, podemos dizer que todos são filósofos: ∀x Fx.

Também são possíveis outras expressões, combinando os quantificadores universal e existencial ao operador de negação. Dado o conjunto Fátima Bernardes, FHC e Olavo de Carvalho, podemos dizer que ninguém é filósofo. Ao dizer que ninguém é filósofo, estamos negando que alguém o seja: ㄱ∃x Fx. Ao mesmo tempo, estamos também dizendo que todos não são filósofos: ∀x ㄱFx.

Podemos também dizer, para um conjunto Aristóteles e Romário, que nem todos são filósofos: ㄱ ∀x Fx. Também podemos afirmar que existe alguém que não é filósofo: ∃x ㄱFx.