¿Cuántas veces hay que mezclar para que una baraja quede lo más aleatoria posible?
ABSTRACT: ¡La respuesta es 7!
Mierda, Pedro, eso no es un ABSTRACT, eso es un SPOILER. ¿Pero pá que pones la respuesta al principio? ¿Quién va a leer esto ahora?
Lo interesante no es el número, sino cómo hemos llegado a ese número.
Vamos a recrear el experimento. Podéis coger una baraja de cartas (si puede ser, de las americanas, las del póker) y hacerlo vosotros mismos* también, a ver que os sale. Ordenad la baraja de la siguiente forma:
A-2–3–4–5–6–7–8–9–10-J-Q-K (con cada uno de los palos)
Es decir, dejamos la baraja como si fuera recién comprada. Vamos a mezclar las cartas utilizando la mezcla faro o la mezcla americana (las de los casinos), que consisten en dividir la baraja en dos y mezclar una parte con la otra.
Pues vamos a barajar:
Si barajas sólo una vez se dobla el número de las “sucesiones crecientes” que hay en la baraja. ¿Y qué es una “sucesión creciente”? Hablando con cartas, es una secuencias de cartas que siempre van en aumento (por ejemplo: A-2–4–7–9-Q-K y 2–9 son sucesiones creciente).
Barajar una única vez produce una combinación de al menos dos sucesiones crecientes. Cada vez que se vuelven a mezclar las cartas como mucho se dobla dicho número.
Esto parece denso, pero no lo es. Dentro de unos párrafos vienen los ejemplos.
Si barajas dos veces, la combinación resultante contendrá como mucho cuatro sucesiones crecientes. Si barajas tres, obtienes un máximo de ocho sucesiones crecientes. Si barajas cuatro veces, como mucho tendrás 16=2⁴ sucesiones crecientes (ahhh, ahí se vio el truco)…
Es decir, si barajas n-veces, tendrás, como mucho, 2^n (2 elevado a n) sucesiones crecientes.
¡Ojo! No siempre se duplica, es un “como mucho”, un “menor o igual”, ya que las mezclas no siempre serán perfectas (no siempre se intercalan las cartas una a una), por el camino perderemos algunas de estas sucesiones, pero nunca podrás terminar con más del doble de sucesiones crecientes que en el momento anterior. Da igual que estés barajando sólo un palo (13 cartas), toda una baraja (52 cartas), o seis millones de cartas, este resultado no depende del número de cartas que tenga la baraja.
Es decir, el número de sucesiones crecientes te indica el nivel de cuidado que has puesto al barajar, así como lo bien (o no tan bien) barajadas que están las cartas.
Si tomo una baraja, voy pasando las cartas una a una, y veo que tiene 34 sucesiones crecientes, sabré que se han barajado, por lo menos, 6 veces. (2⁵=32 es insuficiente. 2⁶=64 nos vale, así que 6 o más.)
Si vemos que una persona baraja 6 veces, tomamos las cartas y contamos 3 sucesiones crecientes, es mejor que se encargue otro de barajar…
Ahora, ¿Cual es el máximo de sucesiones crecientes que podemos obtener?
Podría parecer que barajando 6 veces (de forma perfecta) tendríamos 64 sucesiones crecientes… pero, evidentemente, si la baraja tiene 52 cartas, no podríamos llegar a 64 sucesiones crecientes, sino cómo mucho, 52 (que sería tener la baraja ordenada totalmente al revés que como la cogimos).
Bienvenidos al apasionante mundo de las congruencias.
Decimos que dos números son congruentes, si al dividir ambos números entre un tercer número, el resto es el mismo. A ese tercer número se le llama “módulo”.
El ejemplo más evidente es el reloj. Un reloj es una congruencia módulo 12. Por lo tanto, como al dividir 2/12 y 14/12 tienen el mismo resto, decimos que 2 y 14 son congruente módulo 12… y lo usamos a diario, da lo mismo decir que son las 5h de la tarde que las 17h de la tarde, porque son congruentes…
Pues con la baraja lo mismo, pero ahora las congruencias son módulo 52 si usamos toda la baraja, o módulo 13 si usamos únicamente uno de los palos (módulo 12 si hemos cogido una baraja española).
Cómo no depende del número de cartas, vamos a quedarnos con un palo de la baraja, y vamos a barajar. Vamos a suponer que barajamos siempre de forma perfecta, para quedarnos en el mejor de los casos posibles. Voy a distinguir entre sucesiones crecientes teóricas y reales. Las teóricas son las que debería haber como máximo, y las reales, una vez apliquemos la congruencia módulo 13. Para verlo rápidamente, había pensado en hacer fotos a una baraja real e ir poniéndolas por aquí… y eso sería cutre, pero no lo suficiente, así que he decidido hacerlo con el paint:
Curioso, ¿verdad? Las sucesiones reales siempre coinciden con las teóricas al utilizar las congruencias…
Pero, un momento… hay algo raro en esta forma de barajar…
- El As siempre está en primer lugar, independientemente de cuántas veces barajemos.
- Hemos conseguido aumentar el número de sucesiones exactas, sí, pero las cartas se han vuelto predecibles, podemos saber qué carta va a estar en un lugar determinado en cada momento.
- Pero Pedro, hay más sucesiones crecientes si barajas 6 veces. ¿No habías dicho que eran 7?
¿Falla algo?
No, más bien, falta algo.
No sólo necesitamos barajar bien, sino evitar que las cartas creen patrones. De esta forma, podríamos saber que posición ocuparía cada carta, y no queremos que esto pase en una partida real, ¿verdad?
El problema es que hemos supuesto que estábamos barajando de forma perfecta. En este ejercicio teórico de arriba, siempre intercalamos las cartas 1 a 1 al barajar, siempre cortamos la baraja exactamente por la mitad, y siempre ponemos arriba el primer montón… pero esto no pasa así en la realidad.
Y aquí es dónde entra en juego el Efecto Mariposa, o cómo lo conocemos en Matemáticas: La Teoría del Caos.
Esta teoría del caos dice que cualquier pequeña discrepancia entre dos situaciones (como puede ser, cortar por una carta de más al barajar en segundo lugar, o meter una carta antes de otra), acabará dando lugar a situaciones donde ambos sistemas evolucionan en ciertos aspectos de forma completamente diferente, y las soluciones finales serán también totalmente diferentes.
Aquí va un ejemplo si no mezclamos de forma perfecta. No hace falta mezclar de forma torpe, con “mezclar” normal, ya vale. Los humanos cometemos estos pequeños “errores” contínuamente. Yo he mezclado las cartas (real experience), y mis resultados han sido los siguientes:
Cómo podéis ver, nada que ver con el resultado teórico que debería haberme salido. Y si lo hiciera otra vez, obtendría otro resultado distinto.
Y aquí es donde entran los ordenadores y un señor que tiene nombre de personaje de Harry Potter: Persi Diaconis. Diaconis es un matemático de Stanford, y utilizando teorías estadísticas, análisis de probabilidad, y simulaciones de ordenador, probó cada una de las situaciones que podían darse al barajar de esta forma. Millones de barajas virtuales se mezclaron miles de millones de veces, y después, se analizaron los resultados.
Resumen de todo lo que llevamos: no sólo nos interesa que la baraja se esté mezclando bien (que aumenten las sucesiones crecientes), sino que no sea predecible a partir de la mano anterior (que cualquier carta tenga la misma probabilidad de encontrarse en cualquier posición)
El resultado fue concluyente: Para asegurarnos de que una baraja está bien mezclada y que no puede predecirse, había que mezclarla una media de 7 veces. Menos de 7 veces era insuficiente para que la baraja estuviera bien mezclada, y más de 7 era innecesario o incluso contraproducente.
(*) Podéis hacerlo vosotros mismos… si sois un ordenador o sabéis barajar de forma perfecta, claro.
