¿Hay dos personas con el mismo número de pelos en Badajoz? ¿Y en Cáceres?

El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet o principio de las cajas establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. ¿Cómo te quedas? “¡Uff, Matemáticas! ¡Quita, quita, que yo de eso no entiendo!”

Esto, tristemente, es una respuesta que suele dar mucha gente: utilizar el “a mi es que las matemáticas se me dan mal” para no tener que pensar un poco. Aunque si sigues leyendo esto, es que tienes interés por aprender. Si no has entendido el enunciado del párrafo superior, tranquilo, esto es un copiapega de wikipedia. Si hemos venido aquí es para entrar un poco más en detalle. Cuando terminemos, vuelve a leer ese primer párrafo, verás como cambia esa sensación.

Vamos al lío:

Imagina que tienes una moneda de 1€. O bueno, quizás incluso la tengas. Busca entre los cojines del sillón si no ves ninguna a mano, siempre suelen ir a parar allí.

Tira la moneda al aire, y deja que caiga sobre alguna superficie. Hay dos posibilidades, que caiga con la cara hacia arriba (sale cara) o que caiga con la cara hacia abajo (sale cruz).

Puede que haya una remota posibilidad de que la moneda entre en combustión espontánea y desaparezca en medio de una bola de fuego antes de caer, pero esa posibilidad es tan remota, que ni siquiera vamos a considerarla. Una moneda de las de toda la vida, con dos opciones, cara o cruz. ¿Cuantas personas tienen que tirar una moneda para asegurarnos (al 100%) de que, al menos 2 personas han sacado el mismo resultado?

Si la primera persona tira la moneda, puede salir cara o cruz. Imaginemos que sale cara.

Ahora, la segunda persona tira la moneda. Si sale cara, ya está, ya hay dos personas que han obtenido el mismo resultado. Pero esto no pasa siempre, puede salir cruz. Así que imaginemos que sale cruz.

Y viene lo bueno: la tercera persona va a tirar la moneda. Si sale cara, coincidirá con el resultado de la primera persona, y si sale cruz, coincidirá con la segunda persona. Es decir, para asegurarnos de que, al menos 2 personas tienen el mismo resultado, necesitamos tres personas.

Pensando de la misma forma, pregúntale a alguien: “Piensa un número del uno al diez”. Uno cualquiera. Piénsalo tú también, y cuando lo hayas pensado, sigue leyendo esto.

¿Ya? ¿En qué número has pensado? ¿En el siete, verdad? Bueno, otro día hablaremos de esto. Lo que nos interesa realmente es, ¿Cuantas personas necesitamos para asegurarnos de que, al menos, dos personas, han pensado en el mismo número? Pues hacemos igual que antes, nos ponemos en el peor de los casos. Si los 10 primeros piensan números diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), la persona número 11 tiene que repetir, porque no hay más números. No lo hemos dicho, pero al decir “piensa un número”, se busca un número natural, de esos que usamos para contar. Nadie va a pensar en el 2,75 o en el 2/3 (aunque seguro que alguien tan friki como yo ha pensado en el π).

Si hay dos opciones posibles, la tercera persona repite.

Si hay diez opciones posibles, la undécima persona repite (¡La undécima, no onceava no, por Gauss!).

De forma general, si hay n opciones posibles, basta con repetir el experimento n+1 veces para asegurarnos de que al menos, una, se repite.

¿Por qué estamos aquí? Porque ayer dije que podemos estar seguros (al 100%) de que en una ciudad hay 2 personas con el mismo número de pelos (en la cabeza) si en esa ciudad hay más de 150.000 personas.

¿Por qué? Porque el ser humano tiene en la cabeza entre 100.000 y 150.000 pelos (al menos, a priori, con la edad va disminuyendo). Para asegurarnos de que hay dos personas con el mismo número de pelos, tenemos que tener más personas que pelos. Si una persona tiene entre 0 y 150.000 pelos, en el peor de los casos, necesitaríamos 150.001 personas para poder asegurarnos al 100% de que hay dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.

Por ejemplo, en Badajoz, estamos seguros de que hay dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza, ya que en Badajoz viven 155.000 personas. Sin embargo, en Cáceres, no podemos estar tan seguros, ya que en Cáceres viven 95.000 personas. Podría ser que todos tuvieran un número distinto de pelos. La única condición es esa, que haya más personas que pelos.

Esto funciona siempre que tengamos números enteros. Si repetimos el “Piensa un número del 1 al 10”, pero esta vez incluimos todos los números reales (que hay infinitos entre 1 y 10), podría darse el caso de que cada persona dijese un número diferente, para cualquier número de personas (la primera dice 1, la segunda 1.1, la tercera 1.11, la cuarta 1.111…)

Ahora, volvamos a leer el primer párrafo:

El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet o principio de las cajas establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. ¿Cómo te quedas? “Ah, si son Matemáticas! ¡Eso puedo entenderlo!”

Este post forma parte de Un día, un dato (#1día1dato), y corresponde al día 29.