Cuaterniones: más allá de los Números Complejos (TFG)
¿Cómo se inventaron los números? Esta es una pregunta de apariencia muy sencilla, pero de respuesta muy compleja.
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A medida que surgen nuevos problemas, los sistemas numéricos han sido ampliados para cubrir estas nuevas necesidades: con el uso de números negativos para expresar deudas llegaron los números enteros, con la necesidad de realizar particiones se definieron los números racionales, y así hasta llegar a los números complejos, construidos a partir de los reales por adición de la unidad imaginaria i, solución de la ecuación x²=-1.
Y hasta ahí llegamos. ¿Ya está todo? ¿Se acaba todo en los números complejos? No, claro que no. Los números complejos nos abren la puerta a un mundo nuevo: el de los números hipercomplejos, números construidos mediante herramientas totalmente abstractas que juegan con las dimensiones y las unidades imaginarias: complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones…
Pero un gran poder conlleva una gran responsabilidad, y es que al estudiarlos a fondo descubrimos que cuánto más nos adentramos en el mundo de los hipercomplejos, más propiedades perdemos. Si los complejos ya no pueden ser ordenados, los cuaterniones ni siquiera son conmutativos. Los octoniones no son ni conmutativos ni asociativos, ni siquiera admiten ya una representación matricial, y los sedeniones ni siquiera pueden formar un álgebra.
¿Quieres adentrarte en el mundo de los cuaterniones? Entonces te invito a leer mi TFG: Los cuaterniones, en el que construiremos esta nueva álgebra desde cero. Eso sí, antes es necesario hacer una pequeña advertencia:
- No es un documento divulgativo, es álgebra pura.
- Aunque este TFG es autocontenido (todo lo que se usa, se define y explica previamente) es necesario conocer algunos conceptos algebraicos básicos, tales como los conceptos de grupo o cuerpo.
Sin embargo, si lo que estás buscando es una versión más divulgativa de este documento, está en construcción, pero de momento no es accesible. Por lo pronto, puedes leer la introducción, el resumen, y la primera parte del primer capítulo (hasta la página 17), ya que han sido escritas para que puedan ser leidas por cualquier curioso, independientemente del nivel matemático que tenga.
Este TFG fué defendido satisfactoriamente y recibió una calificación de SOBRESALIENTE (9). Mantendré este documento permanentemente actualizado, por lo que si localizas alguna errata o quieres comentarme algo, no dudes en contactarme por twitter o en los comentarios de este mismo post.
