Sum-free Sets in Groups: A Survey (2016)

Sum-free Sets in Groups: A Survey Tao et al, J. Comb., submitted 2016.

Sumsets can be understood as Minkowski addition.

Survey 文章,整理了以下兩個問題目前主要的結果,並提出一個新結果。沒有太多證明。新結果的證明太長,會再獨立寫一篇。

問題一:對實數的子集合 B 可以定義 B + B = {a + b : a, bB}。對任何實數的子集合 A,可以定義 f(A) 為 A 之中符合 B + BB 沒有交集的最大的子集合 B 的元素個數(即 f(A)=max_{B in A, B + B intersect B is empty}|B|)。對正整數 n 可以定義 f(n) 為少於 n 個元素的實數子集合 A 所能得到的最小 f(A)(f(n)=min_{|A|=n} f(A))。問 f(n) 是多少。

問題二:對實數的子集合 B 可以定義 B * +B = {a + b : a, bB, ab},也就是跟 B + B 類似但不得同個元素相加。對任何實數的子集合 A,可以定義 ϕ(A) 為 ϕ(A)=max_{B in A, B *+B intersect B is empty}|B|。對正整數 n 可以定義 ϕ(n)=min_{|A|=n} ϕ(A)。問 ϕ(n) 是多少。

兩個都是 Erdos 問的 extremal 問題(1965),目前都還未解決,只知道一些基於 n 的上界與下界。

這裡的新結果是這樣。考慮定義在交換群 G 而不是實數集合上的 fϕ。一般來說,只要能取得 Ak 個 subgroup 的 union 就可以保證 ϕ(A)≤k(因為鴿籠原理,如果 B in A 而且 |B|>k 那麼 B 裡一定有兩個元素在同一個 subgroup 裡)。新結果大致上是這個觀察的反向推論:如果 ϕ(A)≤k,那麼存在 G 的 subgroups H1, …, Hmmk,讓 A 除去這些 subgroup 的元素以後,剩下的部份數量小於 C(k)。這個正整數 C(k) 只跟 k 有關係,與 G 或 |A| 無關。

可以說因為 fϕ 都是在問最小值,所以 f(A) 與 ϕ(A) 太大的 A 都不重要,只要能找到一個 Ak 個 subgroup 的 union 就可以限縮 ϕ(A)≤k,接下來就只要考慮可以讓 ϕ 值小於 k 的子集合。而這個新結果對這些子集合的結構有一些描述。

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