2. Dereceden Denklemler
2. dereceden denklemlerin çözümü nasıldır? Daha doğrusu, bunlar nedir? Eğer bu soruları soruyorsanız bu yazı tam size göre.
b, c birer reel sayı ve a 0'dan farklı bir reel sayı olmak üzere,
a.x² + b.x + c = 0
şeklindeki denklemlere 2. dereceden denklemler denir. Bu denkemi çözmeye çalışarak kaç kökü vardır, köklerin toplamı ve çarpımı nedir, nasıl bir grafiğe sahiptir, kökler reel sayı mıdır karmaşık sayı mıdır gibi sorulara çözüm arayalım. En başta denklemin köklerini bulmaya çalışalım.
Yukarıda yazılan denklemlerdeki amaç x’i bulmak için bir tamkare ifadeye ulaşmaktı. Bundan dolayı denklemde x + b/2a nın karesini bulundurmaya çalıştık. İçinde sadece x in olduğu bir denklemi çözmek daha kolay bir yoldan çözümlere ulaşmamızı sağladı. Şimdi elde ettiğimiz sonuçlara bakarsak 2 tane kökümüz var. Tabii bu 2 kök ya reeldir ya da ikisi de karmaşık sayıdır. Reel olması için karekökün içindeki ifadenin pozitif olması gerekir, yani b² > 4ac olmalı. Hazır kökleri bulmuşken köklerin çarpımını ve toplamını da bulalım.
r ve s bu denklemin yukarıda bulduğumuz kökleri olsun.
O halde kökler toplamı ve çarpımı yukarıdaki gibi olur. Buradan şöyle bir sonuç çıkar:
a(x-s)(x-r)= ax² + bx + c. Bunun doğru olduğunu rahatlıkla kontrol edebiliriz. a(x-s)(x-r) = a(x²-(s+r)x +sr) = a(x² -(-b/a)x + c/a) = ax² + bx + c.
Köklerin Bulunmasına Yeni Bir Yaklaşım
Kökleri bu klasik yolla bulduktan sonra 2020'nin ilk aylarında Po -Shen Loh’un fark ettiği yeni bir yöntemle de kökleri bulabiliyoruz artık. Bu basit yöntemi inceleyim. ax² + bx + c = 0 denklemini a’ya bölelim x² + (b/a)x + (c/a) = 0.
Bu yeni yöntemde köklerin aritmetik ortalaması alınır, -b/2a. Köklerin b-2a’ ya eşit uzaklıkta olması gerekeceğinden kökler -b/2a +- t şeklinde yazılabilir. Kökler çarpımından t bulunabilir. Tabii ki farklı bir sonuç beklemiyorduk fakat tamkareye tamamlamadan daha basit bir yöntem olduğu bariz.
Parabollerin Grafikleri
Kökleri bulmakla elde ettiğimiz bilgiler yardımıyla bu tür 2. dereceden denklemlerin grafiklerini inceleyelim şimdi de.
Denklemin kökleri demek fonksiyonu sıfırlayan değerler demek olduğundan 2. dereceden bir denklemin grafiğinde, parabolun x eksenini, yani y=0 eksenini, 2 defa kesmesi beklenir nitekim öyledir. Eğer baş katsayı a pozitifse parabolun kolları yukarı negatif ise parabolun kolları aşağı doğru olur.
Parabol ax² + bx + c şeklindeki denklemlerin grafiğine verilen addır.
Neden bu şekilde olur? a pozitifken, x 0'dan +∞’a doğru giderken ax² + bx + c polinomunun değeri + ∞’a gider. a negatifken, x 0'dan + ∞’a doğru giderken, ax² + bx +c polinomunun değeri + ∞’a doğru gider. Limit kavramı için detaylı bilgiyi Betamat’ın “Limit” başlıklı yazısından elde edebilirsiniz.
2. dereceden denklemlerin çözümünde karekökün içindeki ifadeye, b²-4ac, diskriminant veya delta denir. D veya Δ ile gösterilir. Köklerden anlaşılacağı gibi D>0 ise 2 farklı reel kök vardır, D<0 ise 2 kök de karmaşık sayıdır, D=0 ise yine iki kök vardır ama köklerin ikisi de aynıdır bu duruma çakışık kök denir.
Parabolun Tepe Noktası
Bir paraboün tepe noktasındaki x değeri -b/2a’dır. Parabolun tepe noktasının neden -b/2a olduğu türevden gelir. Türev’e Betamat’ın ileriki yazılarında değinilecektir. Şimdilik, bu 2. dereceden denklemin türevinin 2ax +b olduğunu söylemekle yetinelim. Türev, kısaca fonksiyona belli bir noktasından çizilen teğetin eğimidir. Tepe noktasında ise tahmin edeceğiniz üzere yatay bir çizgi olur bu teğet, dolayısıyla eğimi 0'dır. 2ax +b = 0 iken x = -b/2a olur.
Hoş Bir Soru
2. dereceden denklemleri daha iyi anlayabilmek için şu soruya göz atalım: Koordinat düzleminde (a,b) noktasından geçen doğrulardan kaç tanesi y=x² parabolune teğettir? Öncelikle size ilk tavsiyem, okumayı bırakıp soruyu çözmeye çalışmanızdır çünkü bu şekilde soruyu kendiniz anlamlandırıp çözmeyi denersiniz. Çözüp çözememeniz önemli değildir. Önemli olan sorunun üstüne vakit harcamanızdır. Bu tavsiyeden sonra kaldığımız yerden devam edelim. (a,b) noktasından geçen doğruların grafiği y = mx + n şeklindedir. Bizim istediğimiz şey ise y = mx + n doğrusunun üstündeki en az bir (x,y) ikilisi için bu (x,y) ikilisinin y = x² parabolunun üstünde olmasıdır. Matematiksel bir şekilde ifade edersek y = x² ile y = mx +n denklemlerinin çözüm kümesidir. Görsel olarak kolay anlaşılması için 4. bölgeden bir (a,b) ikilisi seçelim.
Yukarıda görüldüğü gibi bazı doğrular 2 kere bazı doğrular 1 kere bazı doğrular ise hiçbir zaman parabolu kesmeyecek. Parabol ile doğrunun kesim noktasındaki her (x,y) ikilisi için y = x² ve y = mx + n eşitlikleri sağlanır. O halde y = mx + n yerine x² = mx +n yazabiliriz. Tüm doğrular (a,b) noktasından geçtiğinden dolayı b = ma+n eşitliği sağlanır. n = b-ma yazılabilir. O halde, x² = mx + (b-ma) , x²-mx-(b-ma) = 0. Bulduğumuz ikinci dereceden denklemin her çözümü için sadece 1 tane y vardır ve bu (x,y) ikilisi hem y = x² hem de y = mx + n denklemlerini sağlar. Bildimiz üzere, denklemin çözümleri, (m + √Δ)/2 ve (m -√Δ)/2 dir. İki tane çözüm olması için Δ>0 olmalıdır. Bu durumda (a,b) noktasından çizilen doğru teğet olmaz fakat parabolu iki noktada keser. Parabole teğet bir doğru çizilebilmesi için Δ = 0 olmalıdır. Bu durumda köklerin ikisi de aynı olacağından sadece bir tane (x,y) değeri için parabol ile doğru kesişir ki bu da doğru parabole teğet demektir. Deltayı inceleyelim. Δ = m² -4ma + 4b. Delta’nın grafiğini çizerken delta denkleminin de deltasına bakmak gerekeceğinden anlam karmaşası olmasın diye Δ = m² -4ma + 4b = z diyelim. z = Δ = m² -4ma +4b parabolunun kökleri olan m değerleri için z = Δ = 0 olur. Δ = z = m² -4ma + 4b = 0. Bu denklemin çözümleri,
[4a + 4√(a²-b)]/2 ve [4a -4√(a² -b)]/2 olur. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra 2a + 2√(a² -b) ve 2a -2√(a² -b) olur. Eğer a² -b sayısı negatifse Δ < 0 olur. (buradaki Δ işareti Δ = z = m² -4ma + 4b denkleminin deltasıdır, yani z’nin deltası veya Δ’nın deltası.)Buradan Δ = z=m² -4ma + 4b grafiğinin köklerinin karmaşık sayılar olduğunu anlarız. Bu da koordinat düzleminde hiçbir zaman x eksenini kesmediğini belirtir çünkü x ekseni reel sayıları içerir. Dolayısıyla aşağıdaki grafikte parabol hep x eksenini üstünde olacağından her yerde kırmızı ile taralı bölgede olduğu gibi Δ = z > 0 eşitsizliği sağlanır. Bu da (a,b) noktasından çizilen tüm doğruların parabolu 2 noktada keseceğini söyler. Gözlemlemesi kolay olsun diye (a,b) noktasını 4. bölgeden seçtiğimizden dolayı z = Δ = m² -4ma + 4b parabolunun Δ’sı her zaman 0'dan büyük olacaktır.
Yukarıda grafiğini çizmeye çalıştım fakat bu grafikte bir şeye dikkatinizi çekmek isterim : Köklerin ikisi de negatif, ikisi de pozitif veya biri negatif diğeri pozitif olabilir. Yani yukarıdaki grafik x ekseni boyunca sağa veya sola ötelenmiş olabilirdi. Son bir bilgi daha ekleyeyim : Parabolun kolları yukarı doğru çünkü Δ parabolunun başkatsayısı -yani a’sı -pozitiftir. (Görüldüğü üzere a = 1.)
Δ = 0 olan iki noktada, doğrular parabole teğet olur yeşille taralı alanda Δ < 0 olduğundan doğrular ile parabol kesişmez. Kırmızı ile taralı bölgede ise Δ > 0 olduğundan doğrular parabolu iki farklı (x,y) ikisi için keser. Şimdi bulduğumuz sonuçları somutlaştırmamızı sağlayan grafiğe bakalım.
Grafikten ve cebirsel işlemlerden anlaşılacağı üzere 4. bölgedeki (a,b) noktasından geçen doğrulardan 2 tanesi y = x² parabolune teğettir.
Son olarak da z = Δ = m² -4ma + 4b grafiğinin deltası negatifse, 16a² -16b < 0 ise nasıl bir grafik karşımıza çıkardı buna bakalım. Böyle olunca 3 paragraf yukarıda açıklandığı gibi z’nin Δ’sı hep negatif olacağından z = Δ = m² -4ma + 4b parabolu x eksenini kesmeyecek ve her m değeri için z = Δ > 0 olacak dolayısıyla böyle bir noktadan geçen her doğru parabolu 2 defa kesecek, aşağıda görüldüğü gibi.
Bu soruyu anladıktan sonra 2. dereceden denklemlerin ortaokulda ve lisede pek fazla gösterilmeyen problemlerle ilişkisini umarım az da olsa kavramışsınızdır. İlk bakışta geometri sorusu gibi gözüken bu soru aslında tamamen cebirsel işlemlerden ibaret.
Kaynaklar:
- Quadratic Equation. Wikipedia. Web. 09.02.2020
- Ali Nesin — Derin Matematik 51 (2. Dereceden Denklemler). Youtube. Web. 12.02.2020
