√2'nin Rasyonel Olmadığının İspatı

İrem Köycü
Nov 7 · 2 min read

Bu yazıda Öklid’in yaklaşık 2300 yıl önce kanıtladığı ve matematik tarihinin en iyi 10 ispatından biri kabul edilen √2 sayısının rasyonel olmadığını ispatlayacağız.

İspattan önce irrasyonel ve rasyonel sayıların ne anlama geldiğine bir bakalım. İlk olarak irrasyonel sayı, rasyonel olmayan sayı demektir. Peki rasyonel sayı nedir?
a, b ∈ Z ve b≠0 olmak üzere a/b (a ve b aralarında asal) şeklinde yazılan ifadelere kesir adı verilir. Bu kesirlerden oluşan kümeye de rasyonel sayılar kümesi denir. ℚ(Quoziente) ile gösterilir.
Artık √2 sayısının rasyonel olmadığını gösterebiliriz. Yani √2 sayısını a/b şeklinde yazabileceğimiz herhangi 2 tam sayı yoktur.

İspatlamamız gereken ifade,
a,b ∈ Z ve b≠0 olmak üzere √2≠a/b
Şimdi aksine örnek verme yöntemiyle ispata başlayalım.
Yani varsayalım √2=a/b olsun.
Her iki tarafın karesini alalım.
2=a²/b²
a²=2b²
Burada dikkat edilmesi gereken nokta şu: b bir tam sayı, karesi de bir tam sayı ve her koşulda 2 ile çarpıldığından dolayı 2b² ifadesi bir çift sayıdır. Buradan da ’nin çift olduğu sonucuna varırız. O halde a da bir çift sayıdır.
Öyleyse a, k ∈ ℤ olmak üzere
a=2k olduğunu düşünelim ve yukarıdaki eşitlikte a yerine 2k yazalım.
Yani 4k²=2b² eğer sadeleştirirsek 2k²=b² ifadesini elde ederiz.
Buradan yapacağımız çıkarım şu; k bir tam sayıydı, karesi de bir tam sayı ve 2 ile çarpıldığı için 2k² ifadesi de bir çift sayıdır. Haliyle b² de bir çift sayıdır.
Bu durumda b’nin de bir çift sayı olduğunu anlıyoruz.
Öyleyse b, n ∈ ℤ olmak üzere
b=2n şeklinde yazılabilir.
O zaman ilk belirttiğimiz ifadeyle bir çelişki elde etmiş oluruz.
a herhangi bir tam sayının 2 katı, b de herhangi bir tam sayının 2 katı.
O zaman a ve b aralarında asal olamaz.
En sonunda
√2≠a/b

İrem Köycü

Betamat - TR

Betamat, matematik hakkında içerik üretmeyi amaçlayan bir oluşumdur.

İrem Köycü

Written by

Blogger, Content Producer, Coder, Photographer, Junior Philosopher.

Betamat - TR

Betamat, matematik hakkında içerik üretmeyi amaçlayan bir oluşumdur.

Welcome to a place where words matter. On Medium, smart voices and original ideas take center stage - with no ads in sight. Watch
Follow all the topics you care about, and we’ll deliver the best stories for you to your homepage and inbox. Explore
Get unlimited access to the best stories on Medium — and support writers while you’re at it. Just $5/month. Upgrade