√2'nin Rasyonel Olmadığının İspatı

Bu yazıda Öklid’in yaklaşık 2300 yıl önce kanıtladığı ve matematik tarihinin en iyi 10 ispatından biri kabul edilen √2 sayısının rasyonel olmadığını ispatlayacağız…

Bu yazıda Öklid’in yaklaşık 2300 yıl önce kanıtladığı ve matematik tarihinin en iyi 10 ispatından biri kabul edilen √2 sayısının rasyonel olmadığını ispatlayacağız.

İspattan önce irrasyonel ve rasyonel sayıların ne anlama geldiğine bir bakalım. İlk olarak irrasyonel sayı, rasyonel olmayan sayı demektir. Peki rasyonel sayı nedir?
a, b ∈ Z ve b≠0 olmak üzere a/b (a ve b aralarında asal) şeklinde yazılan ifadelere kesir adı verilir. Bu kesirlerden oluşan kümeye de rasyonel sayılar kümesi denir. ℚ(Quoziente) ile gösterilir.
Artık √2 sayısının rasyonel olmadığını gösterebiliriz. Yani √2 sayısını a/b şeklinde yazabileceğimiz herhangi 2 tam sayı yoktur.

İspatlamamız gereken ifade,
a,b ∈ Z ve b≠0 olmak üzere √2≠a/b
Şimdi aksine örnek verme yöntemiyle ispata başlayalım.
Yani varsayalım √2=a/b olsun.
Her iki tarafın karesini alalım.
2=a²/b²
a²=2b²
Burada dikkat edilmesi gereken nokta şu: b bir tam sayı, karesi de bir tam sayı ve her koşulda b² 2 ile çarpıldığından dolayı 2b² ifadesi bir çift sayıdır. Buradan da a² ’nin çift olduğu sonucuna varırız. O halde a da bir çift sayıdır.
Öyleyse a, k ∈ ℤ olmak üzere
a=2k olduğunu düşünelim ve yukarıdaki eşitlikte a yerine 2k yazalım.
Yani 4k²=2b² eğer sadeleştirirsek 2k²=b² ifadesini elde ederiz.
Buradan yapacağımız çıkarım şu; k bir tam sayıydı, karesi de bir tam sayı ve 2 ile çarpıldığı için 2k² ifadesi de bir çift sayıdır. Haliyle b² de bir çift sayıdır.
Bu durumda b’nin de bir çift sayı olduğunu anlıyoruz.
Öyleyse b, n ∈ ℤ olmak üzere
b=2n şeklinde yazılabilir.
O zaman ilk belirttiğimiz ifadeyle bir çelişki elde etmiş oluruz.
a herhangi bir tam sayının 2 katı, b de herhangi bir tam sayının 2 katı.
O zaman a ve b aralarında asal olamaz.
En sonunda
√2≠a/b

İrem Köycü