Çözüm: A ve B

Bu makalede Temmuz ayının sorusunun çözümünü inceleyeceğiz.

A² + b² + 3, ab ye bölünecek şekilde kaç (a,b) tamsayı ikilisi vardır?

Şimdi önce negatiflik, pozitiflik durumuna bakalım. Eğer bir (a,b) ikilisi şartı sağlarsa, (-a,b), (a,-b) ve

(-a,-b) de verilen şartı sağlar. Bundan dolayı sadece pozitif (a,b) ikililerini bulsak yeter. (a,b) bir çözüm ise (b,a) da bir çözüm olduğundan genelliği bozmadan a>=b kabul edelim.

Öncelikle b=1 durumunu inceleyelim.

a1 I. a² + 1² + 3 = a² + 4

Buradan (2,1), (1,1), ve (4,1) ikilileri gelir.

S kümesi şöyle tanımlansın:

S = { (a,b) : (a² + b² + 3) / ab bir tamsayı ve a>b, b>1. }

S kümesini tanımlarken genelliği bozmadan a>b aldık.

M = { a+b : (a,b) ∈ S }

M kümesinin en küçük elemanını veren (a,b)’lere bakalım. minM = c olsun. a + b = c olan (a,b) ikililerinden birini alalım. Bu ikili (A,B) olsun.

Bu durumda k bir pozitif tamsayı olmak üzere (A² + B² + 3) / AB = k diyelim.

Şu denkleme bakalım.

(a² + B² + 3) / aB = k.

a² – a.kB + B² + 3 = 0.

a(1) = A olduğunu biliyoruz. Vieta teoreminden,

a(2) =. kB – A = (B² + 3)/A

kB – A tamsayı olduğundan, a(2) bir tamsayıdır. a(1).a(2) = (B² + 3)/A > 0 . a(2) de pozitiftir. 2 farklı durum söz konusu,

1. a(2) >1 ise, (a(2),B) de S’nin elemanıdır. Aynı şekilde a(2) + B de M’nin elemanıdır.
2. Bu durumda,
3. a(2) >= a(1) olmalı.
4. (B² + 3) / A >= A,
5. B² + 3 >= A²,
6. 3 >= (A-B)(A+B)
7. Bu durumda tek çözüm (A,B) = (2,1) ve (2,2) olur.
8. (2,1) ikilisi S kümesinde tanımlanan, a+b’lere. uymaz çünkü S’de tanımlanan b’ler 1’den büyüktü.
9. (2,2) ikilisini ise deneriz ve bölümün tamsayı gelmediğini görürüz dolayısıyla (2,2)’de S kümesinde değildir.
10. 2. a(2) = 1.
11. a(2) = 1 ise,
12. denklem şöyle bir hal alır. B² – kB + 4 = 0.
13. B tamsayı olduğundan denklemin deltası tamkare olmalıdır.
14. k² – 16 = X²
15. k=5 gelir. K yerine 5 yazıp denklemi çarpanlarına ayırırsak (B-4)(B-1)=0 olur.
16. B = 4 iken a(1) = B² + 3 = 19. Yani (19,4) bir çözüm.
17. B=1 iken ise gelen çözümleri en başta incelemiştik.
18. Şimdi şunu elde etmiş olduk: S kümesinde sadece 1 tane eleman var o da (19,4). Çünkü eğer başka elemanlar olsaydı S / (19,4) kümesinin ikililerinden oluşan M kümesinin en küçük elemanı olamazdı.
19. Sonuç olarak çözümler şu şekilde:
20. (1,1) ​(-1,1)​(1,-1)​(-1,-1)
21. (2,1)​(-2,1)​(2,-1)​(-2,-1)
22. (1,2) ​(-1,2) ​(1,-2) ​(-1,-2)
23. (1,4)​(-1,4)​(1,-4)​(-1,-4)
24. (4,1)​(-4,1)​(4,-1)​(-4,-1)
25. (4,19)​(-4,19)​(4,-19)​(-4,-19)

Bu sorunun çözümü de böyleydi. Başka sorularda görüşmek üzere.