Ardışık Sayıların Kuvvetler Toplamı

Çoğu kişi Gauss toplamını biliyordur. 1+2+…+n=n(n+1)/2. Bu formül adını ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss’tan (1777–1855) almıştır.

Çoğu kişi Gauss toplamını biliyordur. 1+2+…+n=n(n+1)/2. Bu formül adını ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss’tan (1777–1855) almıştır. Diferansiyel geometri, analiz, sayılar kuramı, manyetizma, jeodezi, optik ve astronomi alanlarına büyük katkısı olan ünlü matematikçi ve fizikçi Gauss’a matematiğin prensi lakabı verilmiştir.

Bu yazıda bu formülün çeşitli varyasyonlarını ve kanıtlarını verip 1'den n’e kadar olan sayıların k. kuvvetlerinin toplamını bulmaya çalışacağız.

Gauss toplamının birkaç çeşidi aşağıdaki gibidir:

{1}1+2+…+n=n(n+1)/2

{2}1+3+5+…+2n-1=n²

{3}2+4+6+…+2n=n(n+1)

Genel olarak,

m+(m+k)+(m+2k)+…+n=((n-m)/k+1)(m+n)/2

eşitliği doğrudur, burada artış miktarı k, baştaki sayı m ve sondaki sayı n’dir.

İspat:

m+(m+k)+(m+2k)+…+n=A

n+…+(m+2k)+(m+k)+m=A

ifadeye A deyip alt alta ters bir şekilde toplayalım ama fark etmemiz gereken bütün sütunlardaki toplamlar aynı ve (m+n)’e eşit ve bundan da ((n-m)/k+1) tane var.(Neden?)

2A=((n-m)/k+1)(m+n)

Buradan da A=((n-m)/k+1)(m+n)/2 gelir. {1},{2},{3} de m, n ve k yerine uygun değerler verilerek hesaplanır.

Gauss toplamına dönelim. 1+2+…+n=n(n+1)/2 olduğunu biliyoruz. Acaba 1²+2²+3²+…+n² toplamı kaça eşittir veya 1³+2³+3³+…+n³ toplamı? Daha iddialı bir soru da sorabiliriz: k pozitif bir tamsayı olmak üzere A(k)=1^k+2^k+3^k+…+n^k toplamı kaçtır?

A(2)=n(n+1)(2n+1)/6 eşitliği doğrudur.

İspat: İspatı tümevarımla yapalım.

1. n=1 ise A(2)=1=1 doğru,
2. n=m için doğru kabul edelim,
3. n=m+1 için doğru olduğunu ispatlayalım:

1²+2²+3²+…+m²=m(m+1)(2m+1)/6 olduğunu varsaymıştık. Her tarafa (m+1)² ekleyelim.

1²+2²+3²+…+m²+(m+1)²=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)²

Buradan da sağ tarafta payda genişletip çarpanlara ayırırsak

1²+2²+3²+…+m²+(m+1)²=(m+1)(m+2)(2m+3)/6 gelir ve ispat biter.

Tümevarım yöntemiyle 1³+2³+3³+…+n³=(n(n+1)/2)² olduğu ispatlanabilir. Ama biz iddialıyız. A(k)’yi merak ediyoruz. A(k)’nin kaç olduğunu bulmaya çalışalım.

Öncelikle binom açılımından

(n+1)^k=n^k+C(k,k-1)n^(k-1)+…+C(k,2)n²+C(k,1)n+1

olduğunu biliyoruz.(C(k,m) binom katsayısını ifade eder ve k’nin m’lisi diye okunur). Bu eşitlikte ilk ispatta gördüğümüz taktiği uygulayacağız. n yerine 0'dan n’e kadar değerler koyup alt alta toplayalım.

Fark ettiniz mi? (0+1)^(k+1) ile 1^(k+1), (1+1)^(k+1) ile 2^(k+1), ((n-1)+1)^(k+1) ile n^(k+1) birbirini götürüyor. Elimizde kalan ise

(n+1)^(k+1)=A(k+1)+C(k+1,k).A(k)+…+C(k+1,1).A(1)+(n+1)

Bu eşitlikten de görüldüğü gibi A(k)’yi bulmak için A(1)’den A(k-1)’e kadar olan toplamları bilmeniz lazım, bunları da eşitlikte yerine yazarsanız A(k)’yi bulursunuz.

Soru Köşesi

k tek pozitif tamsayı olmak üzere, A(k)’nin A(1)’e tam bölündüğünü ispatlayınız.(İpucu: A(k)’nin formülü önemli değil, A(1)’i bilseniz yeter.)

Kaynaklar:

1) Mustafa Özdemir, Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 2, Nisan 2018