Asal Sayıların Sonsuzluğu

Kaç tane asal sayı vardır? 25? 168? 16825? Gelin kaç tane asal sayı olduğunu sayamayacağımızı birkaç farklı yoldan anlayalım.

Asal sayılar dizisinin ilk birkaç terimini yazalım: 2,3,5,7,11,13,17,19… diye gider. Arada pek bir örüntü yok gibi. Peki kaç tane olduğuna bakalım. Birden yüze kadar 25 tane asal var. Yani oran yüzde 25. İlk bin sayı arasında kaç tane asal var: 168 tane. Oran yüzde 16,8. ilk on bin sayıda oran daha da az. Peki bu oran ne kadar azalır. 0'a ulaşır mı? Yani asal sayıların sayısı sonlu mudur yoksa sonsuz mu? Sonsuzdur.

Asal sayıların sonsuzluğunun ilk ispatını Öklid isimli İskenderiyeli matematikçi vermiştir. Öklid’in ispatı şöyledir: Asal sayıların sonlu olduğunu kabul edelim. Bunların sayısı n, gösterilişleri de p(1),p(2),p(3),…,p(n) olsun.

A=p(1)p(2)p(3)…p(n)+1 sayısını inceleyelim. A sayısı asal olsaydı p(1),p(2),p(3),…,p(n) asallarından farklı olurdu çünkü hepsinden büyük, bu da bize n’den fazla asal olduğunu gösterir, diğer yandan asal olmasaydı elimizdeki n tane asaldan en az birisine bölünmesi gerekirdi. Bunlardan biri p(m) olsun. pm asalı hem A’yı hem de p(1)p(2)p(3)…p(n) çarpımını dolayısıyla 1'i de bölmeli ama böyle bir şey mümkün değil. Çelişki elde ettik. Demek ki asal sayılar kümesi sonlu değil.

2. ispat da benzer şekilde yapılır. Bunun için fermat sayılarını bilmemiz gerekiyor. Adını Fransız matematikçi Fermat’tan alan sayılar Fn=2^(2^n)+1 şeklindedir. n=0,1,2,3,4 değerleri için asaldır ama n=5,6,…11 için asal değildir. Bu sayıların içinde kaç tane asal olduğu bilinmiyor. Bu sayılar arasında F(0)F(1)F(2)F(3)…F(n-1)+2=F(n) eşitliği doğrudur. Videoyu durdurup ispatlamayı denemenizi tavsiye ederim. Bu eşitliği tümevarımla ispatlayalım. Sonra da bu eşitliği kullanıp asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayalım.

1)n=1 için doğrudur.

2)n=k için doğru olduğunu kabul edelim ve bu bilgiyle n=k+1 için doğru olduğunu ispatlayalım.

=> F(0)F(1)F(2)F(3)…F(k-1)+2=F(k) denkleminin doğru olduğunu biliyoruz. Denklemi F(k) ile çarpalım. Sonra da her tarafa 2–2F(k) ekleyelim. Elimizde

=>F(0)F(1)F(2)F(3)…F(k-1)F(k)+2=Fk²–2Fk+2

denklemi kalır. Sağ tarafın F(k+1) sayısına eşit olduğunu gösterirsek eşitliği ispatlamış oluruz. Sağ tarafta Fk yerine 2^(2^k)+1 koyalım.

Fk²–2Fk+2=(Fk-1)²+1=(2^(2^n)+1-1)²+1=2^(2^(n+1))+1=F(k+1)

olur.

Fark ettiyseniz F(0)F(1)F(2)F(3)…F(n-1)+2=Fn eşitliğinde herhangi bir n tamsayısı için; F(n) ile F(n)’den küçük herhangi bir tamsayı aralarında asal. Buradan herhangi iki fermat sayısının aralarında asal olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü bu sayılardan biri diğerinden küçüktür. Asal sayıların sonlu sayıda, m tane olduğunu varsayalım. Biz F(0), F(1), F(2), F(3),…, F(m) sayılarının herhangi ikisinin aralarında asal olduğunu biliyoruz; yani bu sayıların sahip olduğu asal çarpanlar birbirinden farklı, öyle olmasa aralarında asal olmazlardı. Elimizde m+1 tane tamsayı var ama sadece m tane asal var demek ki en az ikisi aynı asal çarpana sahip. Bu da çelişki demek. Sonlu sayıda asal olamaz.

Asal sayılar sonsuz anladık ama 3n+1 şeklinde kaç tane asal sayı var veya 5n+3. Bunların sayısın sonluysa kaç tane? Sonsuzsa nasıl ispatlanır?

Dirichlet Teoremi adıyla bilinen bu teorem şöyledir:

a, b verilmiş doğal sayılar ve n doğal sayı olmak üzere an+b şeklinde sonsuz sayıda asal sayı vardır. Bu teorem şuna denktir: mod a’da b’ye denk olan sonsuz tane asal sayı vardır. Örneğin a=3 b=2 özel durumu için 3n+2 şeklinde sonsuz sayıda asal sayı vardır. Yani n değişken a ve b de sabittir. Dirichlet’in başka bir teoremi de şu şekildedir:

an+b şeklindeki asal sayıların çarpmaya göre tersinin toplamı yakınsaktır. Bu yazıda bunları kanıtlamayacağım çünkü ileri seviye analiz gerektiriyor.

İlk bahsettiğim teoremi a=3, b=2 için kanıtlayalım.

Diyelim ki 3n+2 şeklinde sonlu sayıda n tane asal sayı olsun bunlara p(1),p(2),p(3),…,p(k) diyelim. İspatta asal sayıların 3 hariç 3n+1 veya 3n+2 şeklinde yazıldığını kullanacağız.

A=3p(1)p(2)p(3)…p(k)+2 sayısını ele alalım. Yukarıdaki ispatlardaki taktiği kullanacağız. Eğer A asalsa p(1),p(2),p(3),…,p(k) asal sayılarından büyüktür yani asal sayıların sayısı n+1 olur çelişki, diğer durumda A’nın asal çarpanlarından en az biri 3n+2 şeklindedir eğer hepsi 3n+1 şeklinde olsaydı A sayısı da 3n+1 şeklinde olurdu.

A’nın asal çarpanı hem 3n+2 şeklinde hem de p(1),p(2),p(3),…,p(n) asal sayılarından biri değil çünkü bu asal sayılar A’yı bölemez. O halde bu farklı bir asal sayıdır ve 3n+2 şeklindeki asalların sayısı k+1 olur. Her iki durumda da çelişki demek ki 3n+2 şeklindeki asal sayıların sayısı sonsuzdur. Aynı şekilde 4n+3 formundaki asal sayıların sayısının sonsuz olduğunu ispatlayabilir misiniz?

Kaynakça,

1 Prof. Dr. İlham Aliyev, Prof. Dr. Halil İ. Karakaş, Sayılar Teorisinde İlginç Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri