Asal Sayıların Sonsuzluğu

Kimi matematikçilere göre matematik tarihinin en zarif ispatı olarak nitelenen asal sayıların sonsuzluğu, M. Ö. 300 civarında Öklid tarafından kanıtlandı…

Bu yazıda asal sayıların sonsuz oluşunun ispatını inceleyeceğiz.

Kimi matematikçilere göre matematik tarihinin en zarif ispatı olarak nitelenen asal sayıların sonsuzluğu, M. Ö. 300 civarında Öklid tarafından kanıtlandı. Ayrıca olmayana ergi metodu Öklid tarafından ilk kez bu ispatta kullanıldı ve matematik tarihine kazandırılmış oldu.

Bu ispatta büyük bir yere sahip olan aritmetiğin temel teoremine ve asal sayıların tanımına ihtiyacımız var. Öncelikle bunlara değinelim.

Aritmetiğin temel teoremine göre:
1'den büyük her doğal sayı, bir takım asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir ve bu yazılım biriciktir.

Bir de asal sayıların tanımına bir bakalım:
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. Yani 2, 3, 5, 7, 11, …

Artık asal sayıların sonsuz olduğunu gösterebiliriz.

Şimdi olmayana ergi yöntemini kullanarak ispata başlayalım.
Varsayalım asal sayılar sonlu olsun.
Şimdi de en büyük asal sayıya Pn diyelim.
Bir de K sayısı tanımlayalım. K sayısı tüm asal sayıların çarpımından 1 fazla olsun.
Yani, K = (2.3.5. …) + 1
O halde K sayısı bilinen tüm asal sayılara bölündüğünde 1 kalanını verir.
O zaman K sayısı ya asal ya da Pn’den büyük bir takım asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Vardığımız sonuç ifade ettiğimiz varsayım ile çelişki oluşturuyor.
Q.E.D.