ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ SORULAR
Hadi asal sayılarla ilgili sorulara bir göz atalım. Bu sorular lise sorusuna benzemeyecek :)
Bu yazımızda sizinle 6 tane asal sayılarla ilgili soru çözeceğiz.
Soru 1) n⁵+n⁴+1 sayısının asal olmasını sağlayan n tamsayılarını bulunuz.
Çözüm:
A=n⁵+n⁴+1= n⁵+n⁴+n³-(n³+n²+n)+n²+n+1
=n³(n²+n+1)-n(n²+n+1)+(n²+n+1)
=(n³-n+1)(n²+n+1)
1)Eğer n ≥ 2 ise,
A=ab; a,b ≥ 2 yani A asal değil.
2)Eğer n≤-2 ise A<0,
3)n=1, A=3 asal,
4)n=0, A=1 asal değil,
5)n=-1, A=1 asal değil.
Yani tek çözüm n=1.
Soru 2) n>2 ve n bir tamsayı olmak üzere, n ile n! arasında en az bir tane asal sayının bulunduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
A=n!-1 sayısının p asal çarpanını alalım. Diyelimki n ile n! arasında asal yok. p<n! olduğundan p<n olmalı çünkü n ile n! arasında asal sayı yok. Bundan dolayı p|n!. Aynı zamanda p|n!-1 olduğunu biliyoruz. Ama hiçbir asal ardışık iki tamsayıyı bölemez. Çelişki elde ettik yani n ile n! arasında asal yok iddiası yanlış. Demek ki n<p<n! olacak şekilde en az bir p var.
soru 3) p asal sayısı n²+n+1 sayısını bölecek şekilde sonsuz tane p asal sayısı olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
Sonlu tane olduğunu varsayalım,
p1,p2,…,pn → n²+n+1 sayısını bölecek şekildeki asallar
n=p1p2…pn alalım. Herhangi bir i≤n pozitif tamsayısı için
pi|n2+n+1 ve pi|n olduğundan çelişki elde ederiz çünkü ebob(n²+n+1,n)=1
soru 4) p-1 basamaklı sadece 1'lerden oluşan sayı hangi p asalları için p’ye bölünemez.
Çözüm:
Sayımızı çözümleyip inceleyelim.
A=111…111=1+10¹+10²+…+10^(p-2)
1+a+a²+…+a^n=(a^(n+1)–1)/(a-1)
A=(10^(p-1)–1)/9
p|10^(p-1)–1 Fermat Teoreminden 2,5 asalları hariç soldaki ifade doğrudur. Fakat paydada 9 olduğundan p=3 kontrol edilmeli.
>>>>p=3 ise (10^(p-1)–1)/(p-1)=(10²–1)/9=3²11/3²=11
Ç.K.={2,3,5}
soru 5) 132(10!)2+133(10!)+1 sayısını bölen en küçük iki asal sayıyı bulunuz.
Çözüm:
A=132(10!)2+133(10!)+1=12.11.10!.10!+(12.11+1)10!+1
=12!10!+12!+10!+1
=(12!+1)(10!+1)
12!+1≡0(mod 13) , 10!+1≡0(mod 11) → Wilson Teoremi
11 ve 13'ten küçük asallar bu ifadeyi zaten bölemez.(Neden?)
Cevap={11,13}
soru 6) Hangi p asal sayıları için 1/a²+1/b²=1/p denklemini sağlayan a ve b tamsayıları vardır?
Çözüm:
p(a²+b²)=a²b²
p|a²b² => p|a veya p|b denklem simetriktir o halde p|a alabiliriz.
a=pk =>p²k²+b²=pk²b²=>p|b
a²≥p², b²≥p² =>1/a²+1/b²≤2/p²≤1/p eşitlik p=2 için sağlanır ama a ve b için örnek bulmalıyız.
(a,b,p)=(2,2,2)
Kaynakça:
Asal sayılar. Fotoğraf. Britannica ImageQuest, Encyclopædia Britannica, 22 Oct 2018. quest.eb.com/search/132_1567210/1/132_1567210/cite. 1 Aug 2020 Tarihinde Erişilmiştir.
