Asal Sayıların Dünyası

Asal sayılar nedir? Bu, bize ilkokul yıllarında öğretilen gibi kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan sayılar demektir. Ama bu tanımın getirileri oldukça fazla ki…

Asal sayılar nedir? Bu, bize ilkokul yıllarında öğretilen gibi kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan sayılar demektir. Ama bu tanımın getirileri oldukça fazla ki… Öncelikle asal sayıya neden ihtiyaç olmuştur? Bununla başlayalım. Asal sayılar Sayılar Teorisinde önemli bir yer kaplar çünkü aritmetiğin temel teoremi der ki “Her sayı ya asaldır ya da birkaç tane asal sayının çarpımından oluşur.” Bu teorem olmasa asal sayılar, sayılar teorisinde hemen her yerde karşımıza çıkmazdı.

Asal sayı fikri MÖ 400 civarına kadar dayanır. Meşhur Pisagor’un takipçilerinden olan “Fılolaos” bazı sayıların birleşik yani bölünebilir sayılar, bazılarınınsa bölünemez yani asal sayılar olduğu fikrini öne sürdü. Peki böyle bir fikir nasıl gelişti? Asal sayılar fikrini ayağa kaldıran şey Öklid’in Elements yani Elementler kitabı oldu. Öklid bu kitapta asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlamakla kalmayıp aritmetiğin temel teoremini ortaya attı ve Mersenne asallarından nasıl mükemmel sayı elde edileceğini gösterdi. Başka bir Yunan icatı olan Erostotenes Kalburu ise hala asal sayıları elde etmek için kullandığımız bir yöntem.

Orta çağa doğru gelirsek, 1000 yıllarına doğru Wilson teoremi müslüman matematikçi İbn-i Heysem tarafından, 18. yüzyılda da John Wilson tarafından ortaya sürüldü. Aklınızdaki soru işaretlerini gidermek için kısaca teoremi açıklayayım: Wilson Teoremi herhangi bir p asal sayısının (p-1)! + 1 sayısını tam böldüğünü söyler. Bu teoremi ayrı bir yazıda detaylı olarak ele alacağız.

Başka bir müslüman matematikçi İbn-al Banna’- Marrakushi, bir sayının asal olup olmadığını keşfetmek için daha kısa bir yol önerdi. Bu kısa yol günlük yaşamımızda rahatlıkla kullanabileceğimiz çok pratik bir yol aslında. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için o sayının karekökünden küçük olan asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterli. Peki neden yeterli? Çünkü bir sayı asal değilse, o sayının karekökünden küçük-eşit olan en az 1 tane asal böleni vardır. Ama bu bilgiyi hemen kabul etmek yok! Bu yargıya doğru demeden önce bu yargıyı kanıtlayalım.

Diyelim ki n doğal sayısı asal değil ve tüm asal sayı bölenleri karekökünden büyük. p ve q, n sayısını bölen iki asal sayı olsun. Bu durumda pq√n diyebiliriz. Şimdi de p ve q’nun √n sayısından büyük olduğunu kullanarak iki eşitsizlik yazalım. p>√n ve q>√n. Bu iki eşitsizliği çarparsak, pq>√n.√n = n.

Sonuç olarak elde ettiğimiz eşitsizliklere göre n ≥ pq > n → n > n eşitsizliğini elde etmiş oluyoruz ki bu da yanlıştır. Çünkü bir sayı kendisinden büyük olamaz. O halde bir n doğal sayısının en az 1 tane asal çarpanı karekökünden küçük-eşittir ifadesi doğrudur.

Tarihte biraz daha ilerlersek 1640'ta Pierre de Fermat, kanıtlamadığı küçük teoremini ileri sürdü. Fermat’ın küçük teoremi ilerleyen dönemde Leibniz ve Euler tarafından kanıtlandı. Fermat daha sonraki yıllarda Fermat sayılarının asallığı üzerine çalışmalar yaptı. Marin Mersenne ise Mersenne asalları üzerinde çalışmalar yaptı. Konusu açılmışken yine kafamızdaki soru işaretlerini gidermek için söyleyeyim Mersenne asalları 2^n-1 şeklindeki asal sayılardır ve bu sayının asal olması için n sayısının da asal olması gerekir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır ve 2⁵-1=31 de bir asal sayıdır. Tabi bu yargıyı da hemen doğru diye kabul etmemek gerekir ama Mersenne asallarına farklı bir yazı ayırmak en mantıklısı.

Asal sayılarla ilgili bir sonraki gelişme ise henüz kanıtlanamayan ama çoğumuza sezgisel olarak doğru bir sanı olarak gelebilecek “Goldbach Sanısı”. Goldbach, 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceği sezgisini 1742 yılında Eular’a gönderdiği bir mektubunda belirtmiştir. Örneğin 18 = 5+13 , 26 = 7+19 … Goldbach sanısının güçlü ve zayıf versiyonları var ama bunlar da ayrı bir yazının konusu.

19. yüzyıla geldiğimizde ise karşımıza önemli gelişmelerden biri olan Drichlet İlkesi çıkıyor. Buna da kısaca değinmek gerekirse, a ve d aralarında asal olan iki pozitif tamsayı olduğunda ve n pozitif bir tamsayı olduğunda a+nd formunda yazılabilen sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyler. Bu ilkeyi anlamlandırabilmemiz için aralarında asal kavramını da açıklamamız gerekiyor. İki sayının aralarında asal olması demek o iki sayının 1 dışında ortak bir böleninin bulunmaması demektir. Örneğin, 12 ve 35. 12'nin asal çarpanları 2 ve 3 iken, 35'in asal çarpanları 5 ve 7 olduğundan bu iki sayının 1 dışında ortak bir böleni olamaz.

Peki ya 1? Yunanlar en başta 1 sayısını sayı olarak değerlendirmiyorlardı dolayısıyla asallığına bakmak mantıksızdı. Ortaçağdaki müslüman matematikçiler 1'i sayı olarak görmemeye devam etti, sonrasında rönesansla birlikte 1 sayısıyı da matematikçiler tarafından sayı olarak kabul görmeye başladı fakat asal sayı olarak değerlendiriliyordu. Hatta 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach sanısını ortaya atarken 1 sayısını da asal sayı olarak görüyordu. Tabi 1 sayısının da asal sayılmaı bazı problemlere yol açtı, örneğin Erastotenes kalburunda 1 in katları olan tüm sayılar silindiğinde tek asal sayı 1 oluyordu. 20. yüzyılın başlarına doğru matematikçiler 1'i asal sayı olarak kabul etmemekte fikir birliğine vardılar ve tanımda yapılan değişiklik sonucu asal sayıların tanımı yazının başında yazdığım halini aldı.

Asal sayıların dünyasındaki okyanusların dibine kadar inmeyi sonraki yazılarımıza bırakalım. Asal sayıların sonsuzluğu, Wilson Teoremi, Erastotenes Kalburu, Fermat Teoremi, Mersenne Asalları, Fermat Sayıları, Goldbach Sanısı, Drichlet İlkesi ve daha bir sürü teorem, hipotez, sanı. Hiçbiri sizi korkutmasın. Asal sayıların gizemli ama büyüleyici dünyasını keşfettikçe matematiğin okulda anlatılandan farklı olan keyifli yanını fark edeceksiniz.

Kaynaklar,

1 Prime Numbers. Wikipedia. Web. 10.04.2020

2 Goldbach Conjecture. Art of Problem Solving. Web. 11.04.2020

3 Sieve of Eratosthenes. Brilliant.org . Web. 11.04.2020