Bir Küme Olarak Fonksiyon Kavramı

Fonksiyon kavramını tanımlamak ve anlamak için gerekli koşullardan biri küme kavramının tanımlanması ve anlaşılmasıdır. Çünkü bir fonksiyon özünde bir kümedir…

Fonksiyon kavramını tanımlamak ve anlamak için gerekli koşullardan biri küme kavramının tanımlanması ve anlaşılmasıdır. Çünkü bir fonksiyon özünde bir kümedir. Her kavramı tanımlamak olanaksız olduğundan bir aksiyomatik(belitsel) sistem kurulurken tanımsız terimlere ihtiyaç vardır. Küme kavramı matematiğin tanımsız terimlerinden biridir(şu an için) ve bu yüzden küme kavramını tanımlamaya çalışmak yerine bu kavramın neler yapabildiği tanıtılmalıdır. Bu yazıda, küme kavramının ne anlama geldiğini ve bu kavramla temel olarak neler yapılabildiğini bildiğinizi kabul ediyorum.

Fonksiyon kavramını tanımlayabilmek için tanımlanması gereken bazı kavramlar vardır. Bunlardan ilki alt küme kavramıdır.

1. Tanım A ve B bir küme olsun. Eğer A kümesinin her elemanı B kümesinin elemanı ise A, B nin bir alt kümesidir ve bu olgu A ⊆ B ile gösterilir.

A ⊂ B gösterimi, A ⊆ B ve A ≠ B için kullanılır. A ⊂ B gösterimi, A, B’nin öz alt kümesidir(proper subset) şeklinde okunur.

Unutmamakta fayda var; her tanım “ancak ve ancak” türünden bir önermedir. p ve q bir önerme olsun, tanımımızda kullandığımız “p ise q” aslında “p ancak ve ancak q” olarak anlaşılmalıdır. Yani, “A, B’nin bir alt kümesi ise A’nın her elemanı B’nin elemanıdır ve A’nın her elemanı B’nin elemanı ise A, B’nin bir alt kümesidir” ifadesini yazmak yerine sadece “ise” bağlacı kullanılarak daha kısa bir tanım verilmiştir.

Fonksiyon kavramını tanımlayabilmek için tanımlanması gereken diğer bir kavram kümelerin kartezyen çarpımıdır.

2. Tanım. A ve B bir küme olsun. A x B = {(a, b) | a ∊ A ∧ b ∊ B} kümesi A ve B kümelerinin kartezyen çarpımıdır.

Bu küme, a ∊ A ve b ∊ B bileşik önermesini doğru yapan tüm (a, b) sıralı ikililerini eleman olarak içeren kümedir.

Örnek. S = {2, 3, 5}, T = {1, 2} ⇒ S x T = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2)}

Örnek. ℝ x ℝ = {(x, y) | x, y ∊ ℝ}

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için sıklıkla kullandığımız Öklid düzlemi aslında, gerçek sayılar kümesi ve gerçek sayılar kümesinin kartezyen çarpımıdır, öyle ki, Öklid düzlemi üzerinde belirtilebilecek her nokta (a, b) bu kümenin (ℝ x ℝ) bir elemanıdır.

Artık bir fonksiyonu tanımlayabilmek için bilinmesi gerekli ve yeterli olan kavramları biliyoruz. O halde fonksiyon kavramını tanımlayalım.

3. Tanım. A ve B boş olmayan bir küme olsun. A x B kümesinin özel bir şartı sağlayan bir alt kümesine (ϕ ⊆ A x B), A kümesinden B kümesine bir ϕ fonksiyonu denir.[1] Bu özel şart (i ve ii) şudur:

i. her x ∊ A için en az bir tane y ∊ B vardır öyle ki (x, y) ∊ ϕ dir.

ii. her (m, n), (s, t) ∊ ϕ için, m = s ise n = t

Dikkat edilirse i. ve ii. koşul tek bir koşulda birleştirilebilir. Yani, “her x ∊ A için tam olarak bir tane y ∊ B vardır öyle ki (x, y) ∊ ϕ dir.” koşulu da bize tam olarak aynı anlamı verir.

A yı B ye eşleyen(uygulayan, gönderen, dönüştüren) bir ϕ fonksiyonu, ϕ : A → B ile gösterilir ve (x, y) ∊ ϕ olgusu ϕ(x) = y olarak ifade edilir. ϕ’nin tanım kümesi (domain) A kümesi ve ϕ’nin değer kümesi (codomain veya range) B kümesidir. ϕ’nin görüntüsü (image) ϕ(A) = {ϕ(x) | x ∊ A} kümesidir.

Kaynak ve İleri Okuma:

1. J. B. Fraleigh. (2003). A First Course In Abstract Algebra. (7. baskı sf. 1–4).

2. D. S. Malik, John M. Mordeson, M. K. Sen. (1997). Fundamentals of Abstract Algebra. (sf. 40–41).

3. Alattin Ural. (2006). Fonksiyon Öğreniminde Kavramsal Zorluklar. (sf. 79).

4. Ruhuma Even. (1993). Subject-Matter Knowledge and Pedagogical Content Knowledge: Prospective Secondary Teachers and the Function Concept. (sf. 95).

Dipnot:

[1] Alattin Ural. Fonksiyon Öğreniminde Kavramsal Zorluklar. (s. 79). Bu tanım Even’a (1993) aittir.