Geometriyle alakasızmış gibi gözüken problemlerin hiç beklenmedik geometrik çözümleri olabiliyor. Bu yazıda o tarz problemlerden biri üzerinde durduk. Çözüme geçmeden önce kendiniz çözmeyi deneyebilirsiniz.
PROBLEM:
ÇÖZÜM:
Aslında sorulan şey tam olarak bu:
O hâlde düşünmeye başlayalım. Neler yapabiliriz?
n yerine değerler vermekle başlayabiliriz. Bunu yapmak bizi direkt çözüme götürmeyecektir fakat çözüme giden yol hakkında fikir verebilir. Ama önce işimize çok yarayacak basit bir teoremden bahsedelim. Hatta teoremcik desek yeridir.
C’den |AB|’ye dik indirerek ispatlanabilir.
Şimdi n yerine sırasıyla değerler verip inceleyelim.
Sanırım n=1 için cevabın 1/2 olduğunu herkes biliyor. O zaman n=2 için bakalım.
Bunu aslında dönüşüm formülleri ya da altın oran kullanılarak çözebiliriz ama bugün geometri kullanarak çözeceğiz.
Tepe açısı 𝜋/5 yani 36° olan bir ABC ikizkenar üçgeni oluşturup |AC| üzerinde |BD|=|BC| eşitliğini sağlayan bir D noktası alalım. |AD|=|BD|=|BC| olduğunu açıları yerleştirince kolaylıkla görebiliriz. Bu uzunluklara 1 diyelim. Fark ettiyseniz iki tane küçük ikizkenar üçgenimiz oldu. Teorem1'i uygulamanın vakti geldi. Bu durumda |AB|’nin uzunluğu 2cos(𝜋/5), |DC|’nin de 2cos(2𝜋/5) oldu.
ABC üçgeninde |AB|=|AC| olduğundan şöyle bir eşitlik yazabiliriz.
Eşitliğin iki tarafını da 2'ye bölüp cos(2𝜋/5)’i de sol tarafa atarsak eşitlik aşağıdaki gibi olur.
Bu da tam aradığımız şeydi. Cevabımız 1/2 oldu.
Şimdi n=3 için ne gibi bir şey çıkıyor ona bakalım.
Bunu bulmak için de tepe açısı 𝜋/7 olan bir ABC ikizkenar üçgeni çizelim. Yine |AC| üzerinde |BD|=|BC| şartını sağlayan bir D noktası alalım. Sonra da |AB| üzerinde |BD|=|ED| eşitliğini sağlayan bir E noktası alalım. Açıları yerleştirince |AE|=|ED|=|BD|=|BC| olduğunu görebiliriz. Bu uzunluklara tekrar 1 diyelim ve Teorem1'i uygulayalım.
|AB|=|AC| eşitliğini kullanarak şöyle bir eşitlik yazabiliriz:
Gerekli düzenlemeleri yaptıktan sonra aradığımız cevabın tekrar 1/2 olduğunu görüyoruz.
Artık cevabın 1/2 olduğuna ikna olmuş gibiyiz! Ama yine de hemen balıklama atlamamak lazım. Matematikte karşımıza çıkan örüntüler bizi yanıltabilir. Örneğin 1,2,4,8,16 şeklinde devam eden bir dizinin bir sonraki terimi 32 olmayabilir. Bu yüzden genel bir çözüm yapmamız lazım.
Yine de son kez n=4 için yapalım.
Tepe açısı 𝜋/9 yani 20° olan bir ABC ikizkenar üçgeni çizelim.
Bu üçgene ayrı bir yazıda değineceğiz. 20–80–80 üçgeni oldukça meşhur bir üçgendir. Langley Üçgeni diye de geçer.
Aynı işlemleri yine yapacağız. |AC| üzerinde |BD|=|BC| şartını sağlayan bir D noktası, |AB| üzerinde |BD|=|ED| şartını sağlayan bir E noktası ve |AC| üzerinde |ED|=|EF| şartını sağlayan bir F noktası alalım. Fark ettiyseniz yaptığımız işlem zikzak çizmeye benziyor.
Yeşille çizilen uzunluklara yine 1 diyip Teorem1'i uygulayalım ve|AB|=|AC| eşitliği kullanılarak gerekli işlemleri yapalım.
sonucuna ulaşırız.
Şimdi genel çözüme geçebiliriz.
Aslında tepe açısı n pozitif tam sayı olmak üzere 𝜋/(2n+1) olan her ikizkenar üçgeni yukarıdaki gibi zikzaklar çizerek daha küçük ikizkenar üçgenlere ayırabilirsiniz. Neden? Tepe açısı a ve ikiz açıları na olan bir ikizkenar üçgen ele alalım. (Bu durumda tepe açısı 𝜋/(2n+1) olur.) Zikzak işlemini uygulamaya başladığınızda oluşan küçük ikizkenar üçgenlerin ikiz açılarının na, (n-1)a, (n-2)a, (n-3)a şeklinde azaldığını görebilirsiniz. Eninde sonunda ikiz açıların a olacağı barizdir.
O halde BAC açısı a = 𝜋/(2n+1) olan bir ABC ikizkenar üçgeni çizelim ve zikzak işlemini uygulayalım.
Yukarıki üçgende 2cos(na) uzunluğu |AB| veya |AC| üzerinde olabilir. Bu da n’in çift ya da tek olmasına bağlı. n’in çift ya da tek olması da denklemdeki cos(na)’nın işaretini etkilediğinden cos(na)’nın katsayısına (-1)^(n+1) diyelim.
olduğunu rahatça görebiliyoruz.
Sonuç olarak:
