Diziler
Bir dizi aslında doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlanmış özel bir fonksiyondur. Bir dizinin n. terimi X(n) şeklinde gösterilir…
Bir dizi aslında doğal sayılar kümesinden reel sayılar kümesine tanımlanmış özel bir fonksiyondur. Bir dizinin n. terimi X(n) şeklinde gösterilir. Bu yazıda X(n)=p X(n-1)+q X(n-2) genel kuralına sahip dizilerin genel formülünü bulmaya çalışacağız.
X(n) = X(n-1) + X(n-2) dizisinin X(n)= λ^n şeklindeki çözümünü arayalım. Bunu genel kuralda yerine yazalım. Elimizde λ²-p λ-q=0 ikinci dereceden denklemi kalır. Buna dizinin karakteristik denklemi denir. Bu denklemin çözümleri λ1 ve λ2 olmak üzere X(n)= a (λ1)^n+b (λ2)^n ’dir.
Neden böyle olduğunu görelim. Yn=(λ1)^n dizisi bu kuralı sağlarsa-ki bunu sağlayan bir çözüm arıyoruz- a Yn dizisi de bu kuralı sağlar, aynı şekilde Zn=(λ2)^n dizisi sağlarsa b Zn dizisi de bu kuralı sağlar (Burada a ve b sabit sayılardır.). a Yn ve b Zn dizilerinin sağladığı kuralı a Yn + b Zn dizisi de sağlar.
Yukarıdaki ikinci dereceden denklemde λ1=λ2(=λ) ise Xn=(a+bn)λ^n ’dir.
Neden böyle olduğunu görelim. a λ^n dizisinin genel kuralının Xn dizisinin genel kuralını sağlıyor bunu yukarıda gördük. nλ^n dizisinin bu kuralı sağladığını görelim. X(n)=p X(n-1)+q X(n-2) eşitliğinde yerine yazalım. Ancak λ1=λ2(=λ) ise λ=p/2 ve q=-p²/4 olduğunu unutmamalıyız. Bundan sonra yapmamız gereken tek şey Xn=nλ^n ifadesini genel kuralda yerine yazmak ve λ=p/2 ile q=-p²/4 eşitliğini kullanmak.
a ve b yi bulmak için n yerine dizinin verilen teriminin indislerini yazarız. Genellikle sorularda X1 ve X2 terimlerinin değerleri verilir.
ÖRNEK 1: X0=2, X1=7 ve X(n+1)=7 Xn -12 X(n-1) genel kuralıyla verilen dizisinin genel terimini bulunuz.
Çözüm: Dizinin karakteristik denklemi λ²-7λ+12=0 şeklindedir. Bu denklemin çözümleri λ1=3 ve λ2=4 olduğundan Xn=a 3^n+b 4^n’dir.
n=0 için 2=a+b ve n=1 için 7=3a +4b denklemlerini elde ederiz. Buradan a=1 ve b=1 çıkar. Xn=3^n+4^n.
Soru: F1=0, F2=1 ve F(n)=F(n-1)+F(n-2) genel kuralıyla verilen Fibonacci dizisinin genel terimini bulunuz.
Bu konuyu daha iyi öğrenmek için PROBLEM-SOLVING STRATEGIES kitabına bakabilirsiniz.
