Fermat’ın Küçük Teoremi
Bu makalemizde Modern Sayılar Teorisi’nin babası olarak anılan Pierre de Fermat’ın Küçük Teoremini inceleyip, üzerine pekiştirici ve zorlayıcı dahi olan problemler çözeceğiz!
“Bu önerme için harika bir ispatım var ama bu kenar boşluğunda bunu yazmam için yer yok.”
Bu sözler size bir yerden tanıdık geliyor mu? Tarih boyunca matematiğe katkılarıyla bir nevi devrim yaratan bir sürü insan olmuştur, kimisi matematikçi, kimisi fizikçi, kimisi avukat bile olmuştur. Baştaki söz modern sayılar teorisini bulan kişi olarak anılan — ve aynı zamanda bir avukat olan — Pierre de Fermat tarafından söylenmiştir. Bu makalemizde Fermat’ın sayılar teorisinde oldukça fazla kullanılan küçük teoremini kanıtlayıp iyicene kavrayacağız.
Kanıtlama ile yolumuza çıkalım! Peki nedir bu teorem?
Elimizde bir teorem olduğuna göre kanıtlamasak olmaz!
a sayısının 1., 2., …, (p-1). katlarından oluşan diziyi inceleyim . Bu dizinin modülo p’de 1’den (p-1)’e kadar sayıların tekrardan dizilmiş hali olduğunu gösterelim. Aksini varsayalım,
olsun. Bu çarpımlardan hiçbirinin 0’a denk olmayacağı barizdir çünkü p ne a’yı ne r’yi ne de s’yi böler. Denkliği başka bir forma sokalım.
olur. Bu denklik hiçbir zaman sağlamaz çünkü r ile s birbirinden farklı olduğundan ve p de a’yı bölmediğinden ne r-s ne de a 0’a denktir. Çelişki elde ettik! Demek ki hiçbir zaman bu denklik sağlanamaz ve dolayısıyla dizilerin birbirinin modülo p’de tekrardan dizilmiş halidir.
Bu durumda dizilerin elemanları mod p’de birebir aynı olduğuna göre -daha doğrusu diziler mod p’de birbirinin yeniden dizilmiş hali olduğuna göre- her iki dizinin elemanları çarpımı birbirine mod p’de denk olmalıdır.
Denkliği tekrardan yazarsak,
(p-1)! içinde hiçbir şekilde bir p çarpanı olmadığından dolayı p — 1 faktöriyel ile p aralarında asaldır. Bu sayede denkliğin her iki tarafındaki (p — 1)!’leri sadeleştirebiliriz ve aradığımız denkliğe ulaşırız, kanıt bitmiştir!
Bu teoreminin birkaç örneğini gözlemleyelim sizlerle. Örneğin ⁸³⁰ — 1, 31’e bölündüğünde kaç kalanını verir? Fermat’ın teoreminde a’ya 8, p’ye de 31 sayıları atanırsa bu sorunun cevabını kolaylıkla verilebilir: 0.
İyice kavrayıp anladığınıza emin olana kadar bu bahsedilen şeyleri biraz daha sindirmek adına kendinize zaman ayırmanızı tavsiye ederim çünkü işler birazdan farklı bir boyuta ulaşacak.
Hazırsanız devam ediyoruz!
Teoremin bir kullanılış alanını görebilmek adına bir olimpiyat problemini çözmeye çalışalım. Problemimiz şu şekilde: p asal sayısı 2ⁿ-n sayısını bölecek şekilde sonsuz sayıda n pozitif sayısı olduğunu ispatlayınız.
Burada fark edersiniz ki Fermat teoremi oldukça kullanışlı olur. Demek ki bu koşulu sağlayan n sayısı için genel bir formül bulmalıyız ve bu formülün de p asal sayısını içermesi bizim için en iyi hale gelir. Bir kere Fermat’ın küçük teoreminden 2ᵖ-1’in modülo p’de 1’e denk olduğunu biliyoruz, yani,
n yerine p-1 sayısını koymayı deneyelim. Yani elimize geçen eşitsizlik,
Bunu mod p’de incelesek
olduğunu görürüz. Demek ki bir şekilde -1 yerine 1’i yazmayı başarabilirsek bir n sayısı bulmuş oluruz. p-1’in bir çift kuvvetini kullanmaya ne dersiniz? Bu durumda -1, 1’e dönüşmüş olur ve 2p-1de mod p’de yine kalır ve başarılı oluruz. Matematiksel yazılıma dökersek bu durumu, n=(p-1)²ᵏ olursa,
olur. Bu durumda da, n= (p-1)²ᵏ formunda sonsuz sayıda n sayısı olduğundan problemi çözdük! Fermat’ın Küçük Teoremini çok daha iyi kavrayabilmek adına aşağıdaki problemleri çözmeyi denemenizi öneririz, bu sizin için çok faydalı olacaktır:
- Kaç p asal sayısı için, |p⁴ — 86| sayısı da asaldır?
- 5p*(2^(p+1) — 1) sayısını tam kare yapan kaç p asal sayısı vardır
Bu makalemizi beğendiyseniz Fermat’ın Küçük Teoremi isimli YouTube videomuzu da izlemeden geçmeyin! Aşağıdaki ikona tıklayarak videoya ulaşabilirsiniz:
Kaynakça:
- Pierre de Fermat, Fransız matematikçi. Fotoğraf. Britannica ImageQuest, Encyclopædia Britannica, 22 Oct 2018.
quest.eb.com/search/132_1570613/1/132_1570613/cite. 26 May 2020 Tarihinde Erişilmiştir.
