Gerek ve Yeter Koşullar Üzerine

Hemen hemen herkes, günlük yaşamdaki deneyimleri nedeniyle gerek ve yeter koşul kavramlarına aşinadır…

Published in

Betamat - TR

9 min readJan 30, 2020

“Bana Edgar Allan Poe’nun Dupin’ini hatırlatıyorsunuz. Hikayelerin dışında da böyle insanların var olduklarını bilmiyordum.” — Dr. John Watson

1. Giriş

Bir kavramın kullanılması veya bir fenomenin(olayın, duyularla algılanabilen bir şeyin) meydana gelmesi için gerek ve/veya yeter koşulların belirtilmesi, o kavramın veya o fenomenin kesin(precise) tanımının verilmesinde -veya arayışında- kullanılan mantıksal bir araçtır.

Hemen hemen herkes, günlük yaşamdaki deneyimleri nedeniyle gerek ve yeter koşul kavramlarına aşinadır. Söz gelimi, havanın, insan yaşamı için gerekli olduğunu veya kadın olmanın, abla olmak için gerekli olduğunu neredeyse herkes bilir. Benzer şekilde, yeterli koşul kavramı da hemen hemen her insanın yakından tanıdığı bir kavramdır. Söz gelimi, “Lucy Ferrier bir kraliçedir” ifadesini ele alalım. Lucy’nin bir kraliçe olduğunu bilmek, onun bir kadın olduğunu bilmek için yeterlidir.

Gerek ve yeter koşul kavramları üzerine düşünürken akla gelen şeylerden biri de, bir şeyin(X) başka bir şey(Y) için hem gerekli hem de yeterli olmasının mümkün olup olmadığıdır. Sahiden, X’in, Y için hem gerekli hem de yeterli olduğu bir senaryo var mıdır? Alttaki ifadeyi düşünün.

“ ‘Bir baba’ diyordu yazar, ‘aynı zamanda bir erkek ebeveyndir ve bir erkek ebeveyn aynı zamanda bir babadır.’ ”

Yazara göre, bir insanın(S) bir baba olması(X), o insanın bir erkek ebeveyn olması(Y) için gerekli ve yeterlidir. Eğer S için X doğru değil ise o halde S için Y de doğru değildir(X, Y için gereklidir). Benzer şekilde, Eğer S için X doğru ise o halde S için Y de doğrudur(X, Y için yeterlidir).

Bu kavramlar üzerine ufak ve sezgisel bir dokunuş yaptığımıza göre onların kesin tanımlarını oluşturmaya başlayabiliriz.

2. Gerek Koşul Kavramının Tanımı

Tanım. 1.

Bir A koşulu bir B koşulu için gerek koşuldur, ancak ve ancak, A’nın yanlışlığı(var olmayışı, meydana gelmemesi), B’nin yanlışlığını(var olmayışını, meydana gelmemesini) garanti eder(beraberinde getirir).

Tanım Açıklaması. 1.

Tanımı tam olarak anlayabilmek için tanımın içinde geçen kelimeleri inceleyelim. Burada A ve B herhangi iki koşulu anlatır, bu koşullar birer önermedir(veya önerme şeklinde ifade edilebilir) yani bir doğruluk değerleri(doğru veya yanlış) vardır.

Tanımın başlangıcını oluşturan,

1. “Bir A koşulu, bir B koşulu için gerek koşuldur.” ifadesi günlük dilde bize şunu anlatır: A, B için gereklidir.

Tanımın devamında bulunan,

2. “ancak ve ancak” ifadesi mantıksal bir işlemdir(bağlaçtır) ve karşılıklı “ise” işlemi anlamına gelir. İse işlemi, özünde, iki önermeyi birbirine koşullu olarak bağlar. Söz gelimi, p ve q, bir tanımı oluşturan iki önerme olmak üzere, p ise q dediğimizde, p doğru ise q da doğrudur demiş oluruz. Eğer ancak ve ancak, karşılıklı ise anlamına geliyorsa o halde, p ancak ve ancak q dediğimizde, p doğru ise q da doğrudur ve q doğru ise p de doğrudur demiş oluruz. Burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta, her tanımın ancak ve ancak türünden bir önerme olmasıdır(bunun nedenini -yazının devamında yer alan- gerek ve yeter koşul kavramlarının biçimsel mantık dilindeki gösterimlerini gördüğünüzde daha iyi anlayacaksınız).

“Her tanım, ancak ve ancak türünden bir önermedir.”

Tanımın son kısmını oluşturan,

3. “A’nın yanlışlığı, B’nin yanlışlığını beraberinde getirir.” ifadesi A’nın yanlış olması durumunda, B’nin zorunlu olarak yanlış olacağını anlatır. Günlük dilde şu anlama gelir: A yanlış ise B de yanlıştır.

O halde, tanımı oluşturan bu üç kısmı yeniden tek bir cümlede birleştirelim:

A, B için gerekliyse A yanlış olduğunda B de yanlış olur VE A yanlış olduğunda B de yanlış oluyorsa A, B için gereklidir.

“Unutmayın, B yalnızca A doğru olduğunda doğru olabilir.”

Örnekler. 1.

1. Arabada(benzinli motor kullanan bir araba) benzin bulunması, arabanın çalışması için gerekli bir koşuldur.

2. Hava, insan yaşamı için gerekli bir koşuldur.

3. Bir mikroskoba(veya aynı işlevi gören başka bir ekipmana) sahip olmak, insanların virüsleri görebilmesi için gerekli bir koşuldur(virüsler çıplak gözle görülemeyecek kadar küçüklerdir).

4. Bir kadın olmak, bir kız kardeş olmak için gerekli bir koşuldur.

5. Bir kişinin isimlendirilmiş olması, o kişinin isminin “Poe” olması için gerekli bir koşuldur.

2.1. Gerek Koşul Kavramının Biçimsel Mantık Dilinde Gösterimi

Biçimsel(formel) mantık en basit haliyle, ifadeleri, önermeleri ve tümdengelimsel argümanları konu edinen ve konu edindiği bu kavramları soyut bir şekilde inceleyen bir düşünce alanı olarak tanımlanabilir. Biçimsel mantık, içerik ile değil düşüncenin biçimi ile ilgilidir.

p → q koşullu önermesinde, p önermesine öncül, q önermesine ise sonuç(veya ardıl) denir. Bu koşullu önermede sonuç(q), öncül(p) için gerek koşuldur. Öyle ki, sonuç her yanlış olduğunda öncül zorunlu olarak yanlış olur. Yani, q her yanlış olduğunda p zorunlu olarak yanlış olur(¬q → ¬p). Gerek koşul kavramının tanımını düşünecek olursanız, bu koşullu önermedeki q nun, tanımı tam olarak karşıladığını göreceksiniz.

Aynı düşünceyi, farklı açılardan bakarak anlamaya çalışalım. Yazının devamında p ve q olarak isimlendirilmiş önermelerle kurulan senaryoyu ilk olarak sadece harfleri kullanarak, daha sonra ise yukarıda gerek koşul için verilmiş örnekleri, p ve q nun yerine koyarak okumayı deneyin.

Senaryo. 1.

Öyle bir senaryo düşünelim ki, p(insan yaşamı) nin her var oluşunda q(hava) da var olsun. Evrenin neresinde ve hangi zamanında olursak olalım p nin var olması q nun var olması ile sonuçlansın. Senaryonun devamında, q nun var olmadığı bir durum düşünelim. O halde, q var olmadığı için p de var olamaz çünkü biz biliyoruz ki p var olsaydı q zorunlu olarak var olacaktı.

Gerek koşul kavramını içselleştirebilmek(özümsemek, tam anlamıyla kavramak, kendinizden bir parça yapmak) için tanımdan ve anlatımdan anladığınız her şeyin, verilen ve aklınıza gelen örnekler için doğru olup olmadığını düşünün, bu faydalı olacaktır.

2.2. Yeter Koşul Olmayan Gerek Koşullar

Bir A koşulu, bir B koşulu için gerekliyse ve A koşulu, B koşulu için yeterli değilse A, B için gerekli olan ancak yeterli olmayan bir koşuldur denir.

Senaryo. 2.

W nesnesinin bir dikdörtgen olması, W nesnesinin bir kare olması için gereklidir. Fakat, W nesnesinin bir dikdörtgen olması, W nesnesinin bir kare olması için yeterli değildir. O halde, W nesnesinin bir dikdörtgen olması, W nesnesinin bir kare olması için gerekli olan ancak yeterli olmayan bir koşuldur.

Senaryo. 3.

Sherlock Holmes’un bir ölümlü olması, onun bir insan olması için gereklidir. Fakat, Sherlock Holmes’un bir ölümlü olması, bir insan olması için yeterli değildir. O halde, Sherlock Holmes’un bir ölümlü olması, onun bir insan olması için gerekli olan ancak yeterli olmayan bir koşuldur(Sherlock Holmes bir ölümlü olup pekâlâ bir Bengal kaplanı da olabilir).

3. Yeter Koşul Kavramının Tanımı

Tanım. 2.

Bir X koşulu bir Y koşulu için yeter koşuldur, ancak ve ancak, X’in doğruluğu(var oluşu, meydana gelmesi), Y’nin doğruluğunu(var oluşunu, meydana gelmesini) garanti eder(beraberinde getirir).

Gerek koşul kavramı için yukarıda yapılan tanım açıklaması(Tanım Açıklaması. 1.) bu tanım için de geçerlidir; tanımı üç parçaya bölerek düşünmek mümkündür.

Örnekler. 2.

1. Burcu’nun Aydın’da yaşıyor olması, onun Türkiye’de yaşıyor olması için yeterli bir koşuldur.

2. X’in 18 veya 70 olması, X’in bir çift sayı olması için yeterli bir koşuldur.

3. Bir köpek olmak, bir memeli hayvan olmak için yeterli bir koşuldur.

4. a = 3, a² = 9 için yeterli bir koşuldur.

5. Bir yemeği kızartmak, o yemeği pişirmek için yeterli bir koşuldur(bir yemeği pişirmenin birçok yöntemi vardır: kızartmak, haşlamak, …).

3.1. Yeter Koşul Kavramının Biçimsel Mantık Dilinde Gösterimi

p → q koşullu önermesinde, p önermesine öncül, q önermesine ise sonuç(veya ardıl) denir. Bu koşullu önermede öncül(p), sonuç(q) için yeter koşuldur. Öyle ki, öncül her doğru olduğunda sonuç zorunlu olarak doğru olur. Yani, p her doğru olduğunda q zorunlu olarak doğru olur(p → q).

Gerek koşul ve yeter koşul kavramlarının biçimsel mantık dilindeki gösterimlerinin ortak olduğunu fark ettiğinizi varsayıyorum. Bu koşullu önermeye nereden baktığınıza göre, bir önerme diğeri için gerekli ve bir önerme diğeri için yeterli olur. Yani, p → q önermesinde, p, q için yeter koşuldur ve q, p için gerek koşuldur. Yani, p her doğru olduğunda q zorunlu olarak doğru olur ve q her yanlış olduğunda p zorunlu olarak yanlış olur.

3. 2. Gerek Koşul Olmayan Yeter Koşullar

Bir X koşulu, bir Y koşulu için yeterliyse ve X koşulu, Y koşulu için gerekli değilse X, Y için yeterli olan ancak gerekli olmayan bir koşuldur denir.

Senaryo. 4.

W nesnesinin bir kare olması, W nesnesinin bir dikdörtgen olması için yeterlidir. Fakat, W nesnesinin bir kare olması, W nesnesinin bir dikdörtgen olması için gerekli değildir. O halde, W nesnesinin bir kare olması, W nesnesinin bir dikdörtgen olması için yeterli olan ancak gerekli olmayan bir koşuldur(Senaryo. 2. ile arasındaki ilişkiyi düşünün).

Senaryo. 5.

X’in 12 ile bölünebilir olması, X’in 6 ile bölünebilir olması için yeterlidir. Fakat, X’in 12 ile bölünebilir olması, X’in 6 ile bölünebilir olması için gerekli değildir. O halde, X’in 12 ile bölünebilir olması, X’in 6 ile bölünebilir olması için yeterli olan ancak gerekli olmayan bir koşuldur.

Senaryo. 6.

Hamburger yemek, yemek yemek için yeterlidir. Fakat, hamburger yemek, yemek yemek için gerekli değildir. O halde, hamburger yemek, yemek yemek için yeterli olan ancak gerekli olmayan bir koşuldur.

4. Gerek ve Yeter Koşul(Hem gerekli hem de yeterli koşul) Kavramının Tanımı

Tanım. 3.

Bir S koşulu bir T koşulu için gerek ve yeter koşuldur, ancak ve ancak, S’nin doğruluğu(var oluşu, meydana gelmesi) T’nin doğruluğunu(var oluşunu, meydana gelmesini) garanti eder(beraberinde getirir) ve S’nin yanlışlığı(var olmayışı, meydana gelmemesi), T’nin yanlışlığını(var olmayışını, meydana gelmemesini) garanti eder(beraberinde getirir).

Örnekler. 3.

1. Bugünün ne pazar ne de cumartesi olması, bugünün hafta içi olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

2. x = 2 + 2, x = 4 için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

3. Annabel’in Lenore’dan daha genç olması, Lenore’un Annabel’den daha yaşlı olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

4. Luthien’in bir anne olması, onun bir kadın ebeveyn olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

5. [Biraz aldatıcı ama doğru.]

A’nın B için yeterli bir koşul olması, B’nin A için gerekli bir koşul olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

4. 1. Gerek ve Yeter Koşul Kavramının Biçimsel Mantık Dilinde Gösterimi

p ←→ q önermesine iki yönlü koşullu önerme denir ve (p → q) ∧ (q → p) önermesine denktir. p ←→ q koşullu önermesinde p, q için gerek ve yeter koşuldur ve q, p için gerek ve yeter koşuldur. İki yönlü koşullu önermenin denk olduğu önerme bize şunu anlatır:

p doğru olduğunda q zorunlu olarak doğru olur(p → q) ve p yanlış olduğunda q zorunlu olarak yanlış olur(¬p → ¬q) VE q doğru olduğunda p zorunlu olarak doğru olur(q → p) ve q yanlış olduğunda p zorunlu olarak yanlış olur(¬q → ¬p).

Önermenin bize anlattığı durum incelendiğinde, p ve q koşullarının birbiri için gerek ve yeter koşul olduğu gözlemlenebilir. Bunun nedeni, p ve q koşullarının, gerek ve yeter koşul kavramı tanımını tam olarak sağlamalarıdır.

5. Dört Olası(Mümkün) Durum

Şu ana kadar sırasıyla, gerek, yeter ve gerek ve yeter koşul kavramlarını tanımladık. X ve Y herhangi iki koşul olmak üzere, bir X ve bir Y koşulu arasındaki ilişki için dört tane mümkün senaryo(durum) vardır:

1. X, Y için gereklidir ancak yeterli değildir.

2. X, Y için yeterlidir ancak gerekli değildir.

3. X, Y için hem gerekli hem de yeterlidir.

4. X, Y için ne gerekli ne de yeterlidir.

Herhangi iki koşulu seçin, bu iki koşul arasındaki ilişki zorunlu olarak bu dört durumdan biri olmalıdır.

6. Sonuç

a. Bir kavramın kullanılması için gerek ve/veya yeter koşulların belirtilmesi, o kavramın kesin tanımının verilmesinde -veya arayışında- kullanılır.

b. Bir x koşulu, bir y koşulu için yeter koşul ise y koşulu, x koşulu için gerek koşuldur(ve tam tersi de geçerlidir).

c. p → q ifadesinde, p önermesine öncül, q önermesine ise sonuç(veya ardıl) denir ve “p doğru ise q zorunlu olarak doğrudur” şeklinde okunur. Burada, p, q için yeter koşuldur ve q, p için gerek koşuldur.

[Alternatif okunuşlar: “p, q yu gerektirir”, “p doğru ise q da doğrudur”, “p, q için yeterlidir”]

d. p → q ifadesi ¬q → ¬p ifadesine denktir. Yani, “p doğru ise q zorunlu olarak doğrudur” ifadesi “q yanlış ise p zorunlu olarak yanlıştır” ifadesine denktir.

e. p ←→ q ifadesi (p → q) ∧ (q → p) ifadesine denktir. Burada, p, q için gerek ve yeter koşuldur(ve tam tersi de geçerlidir). Yani, özünde, p ve q birbirine denktir.

f. Herhangi iki X ve Y koşulu için dört tane mümkün durum vardır: