Mersenne Sayıları

Şu ana kadar keşfedilen en büyük asal sayı (²⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1)’dir. Bu şekildeki sayıların genel hali, n doğal sayı olmak üzere, 2^n-1 şeklindedir ve bunlara Mersenne Sayıları denir.

Şu ana kadar keşfedilen en büyük asal sayı (2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1)’dir. Bu şekildeki sayıların genel hali, n doğal sayı olmak üzere, 2^n-1 şeklindedir ve bunlara Mersenne Sayıları denir. Bu sayılarla ilgili aşağıdaki teoremi ispatlayalım.

Teorem: A=2^n-1 sayısı asal ise n sayısı asaldır.

İspat: Diyelim ki asal olmayan bir n sayısı için A ifadesi asaldır. n=pk, p asal k pozitif tamsayı olmak üzere, şeklinde yazılabilir.

2^n-1=2^pk-1=(2^p)^k-1=(2^p-1)B

şeklinde yazılabilir. 2^p-1 ve B sayıları 1'den büyük olduğundan bu sayı asal olamaz.ÇELİŞKİ. Demek böyle bir n sayısı varsa asal sayı olmalıdır.

Marin Mersenne (1588–1648), Mn=2^n-1 şeklindeki sayıların n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 asal sayıları için asal 257'den küçük diğer asalar için bileşik sayı(asal olmayan) olduğunu iddia etmiştir. Şu anda n=67,257 için asal olmadığını buna karşın n=61,89,107 sayıları için asal olduğunu biliyoruz. Şu anda bilgisayar yardımıyla n= 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 219091… için Mersenne Sayıları’nın asal olduğunu biliyoruz. Bilinen en büyük asal sayı da yukarıda bahsettiğimiz 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1 Mersenne Sayısıdır. Bu sayı 24.862.048 basamaklıdır ve 7 Aralık 2018'de keşfedilmiştir.