Pell Denklemi

x²-3.y²=1 denklemini inceleyelim. Pozitif tam sayılarda, y sayısına küçük değerler verdiğimizde, denklemi sağlayan en küçük pozitif tam sayı…

x²-3.y²=1 denklemini inceleyelim. Pozitif tam sayılarda, y sayısına küçük değerler verdiğimizde, denklemi sağlayan en küçük pozitif tam sayı ikilisinin x=2, y=1 olduğunu görebiliyoruz. x²-5.y²=1 denkleminde de benzer bir inceleme yaparsak,biraz daha fazla zaman harcayarak x=9, y=4 sonucunu elde ederiz. Peki x²-9739.y²=1 denklemini incelersek, sizce kısa sürede bir sonuca varabilir miyiz?

Evet, bir sonuca varabiliriz, ancak pek kısa sürede olacağını sanmıyorum. Denklemi sağlayan en küçük ikili, x=2004678915287129865051784235972681465598817784993286048703987347587076305931512617412027372229926151890, y=20313634766038988908316803031882483814532877863673358783668788287930891909883492238723036864710413171 ikilisidir.

Peki, D sayısı herhangi bir tam kare ile bölünmeyen herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere, x²-D.y²=1 denklemini sağlayan x, y pozitif tam sayı ikililerinin her zaman var olduğunu söylesem, hatta biraz daha abartıp, D şartı sağlayan ne olursa olsun, denklemin sonsuz x, y pozitif tam sayı ikili çözümünün olduğunu iddia etsem? İngiliz matematikçi John Pell, bunun doğru olduğunu ispatlayan kişidir. Bu denklem, ‘’Pell Denklemi’’ olarak bilinir.

Bu denklem, biraz daha genelleştirilmiş, ve D yine kare bölensiz pozitif tam sayı olmak üzere, x²-y²=n denlemi ortaya çıkmıştır. Bu denklemin özelliği ise şudur; eğer bu denklemi sağlayan bir x,y pozitif tam sayı ikilisi varsa, bu denklemi sağlayan sonsuz pozitif tam sayı ikilisi vardır.

Kaynaklar:

Number Theory: Structures, Examples, and Problems by Titu Andreescu & Dorin Andrica