Vieta Jumping

Bu yazımda şu problemle uğraşacağız: x ve y birer pozitif tam sayı ve eğer x.y sayısı x² + y² + 1 sayısını bölüyorsa (x² + y² + 1) / x.y = 3 olduğunu gösterin…

Bu yazımda şu problemle uğraşacağız: x ve y birer pozitif tam sayı ve eğer x.y sayısı x² + y² + 1 sayısını bölüyorsa (x² + y² + 1) / x.y = 3 olduğunu gösterin.

Öncelikle bu soru kolay değil fakat çözümün de anlaşılmayacak, çok zor bir tarafı yok. İşe şöyle başlayalım, bana nasıl aklına geldi ki bu diye sorabilirsiniz ama zaten bir fikrin akla gelmesi için oturup 1–2 saat soru üstüne düşünmek gerekiyor, x ve y pozitif tam sayılar olduğundan ya birbirlerine eşit ya da biri diğerinden daha büyük. İki durumu da inceleyelim.

1. x = y ise,

Denklem şu şekilde olur : 2x² + 1 = 3x². Buradan x = y = 1 çözümü gelir.

2. x ≠ y ise,

Soruyla birkaç dakika cebelleştikten sonra sezgilerimiz diyor ki : “Ya kardeşim bırak bu işi ya, x ve y birbirinden farklıysa bu denklemin sonucu 3 olmaz herhalde bir sürü sayı denedik yahu!” Sonra aklımıza gerçekten x ve y birbirinden farklıysa bir çözüm var mı acaba sorusu takılıyor. Bu soruyu cevaplandırmak için de şu şekilde düşünelim. S şöyle bir küme olsun:

Bu durumda biz S kümesinin dolu olmasını istiyoruz. Diyelim ki S kümesi boş değil. O zaman, S kümesindeki her (x,y) sıralı ikilisi için x+y sayılarının oluşturduğu kümeye de M kümesi diyelim. M kümesinin en küçük elemanı vardır çünkü pozitif tam sayılardan oluşuyor ve boş olmadığını varsayıyoruz. M kümesinin en küçük elemanını veren (x,y) ikilisini — eğer M kümesinin en küçük elemanını veren birden fazla (x,y) ikilisi varsa rastgele birini — ele alalım diyelim bu ikili (X,Y). x ve y birbirinden farklı olduğundan biri diğerinden büyük. Soruda doğruluğunu göstermemizi istediği denklem x ve y için simetrik olduğundan X>Y kabul edebiliriz. Şimdi şu denkleme bakalım:

3.Y.a terimini eşitliğin sol tarafına atarsak,

denklemini elde ederiz. Sorudaki x değişkeni yerine a yazdım çünkü x+y toplamını en küçük yapan ikili (X,Y) ikilisiydi. Küçük x ile büyük X karmaşaya yol açmasın diye küçük x yerine a yazıyorum buradan sonra. Denklem ikinci dereceden bir denklem olduğundan iki farklı a değeri var. Birincisi çözüm a(1)= X , bunu biliyoruz. Diğeri de Vieta formülünden

a(2) = 3.Y — X = (Y² + 1) / X olur. Buradan a(2)’nin hem tam sayı hem de pozitif sayı olduğun anlarız. Yani (a(2),Y) ikilisi de denklemde yerine konulursa 3 sonucunu verir, yani bu ikili S kümesindedir. a(2)+Y de M kümesindedir. M kümesinin en küçük elemanı X+Y olduğundan,

a(2)+Y > X+Y olmalıdır, yani a(2)>X olmalıdır. Fakat a(2) ile X i karşılaştırdığımızda,

a(2) = (Y² + 1) / X > X

(Y² + 1) > X²

olmalıdır. Ama biz genelliği bozmadan X>Y kabul etmiştik. X>Y kabul ettiğimizden X² > Y² olur. Y² + 1 > X² olamaz. Bu durumda a(2) + Y, M kümesinin en küçük elemanı olmak zorunda kalır. Ama biz en küçük elemana X+Y demiştik. Çelişki! Demek ki M kümesinin en küçük elemanı yok. O zaman M kümesi boş. Dikkat edersiniz ki eğer M kümesi pozitif tam sayılardan oluşmasaydı, M kümesinin sonsuz bir küme olması durumu da olacaktı ama M kümesi pozitif tam sayılardan oluştuğu için sonsuz bir küme olsa bile en küçük elemanı olmak zorunda. En küçük elemandan daha küçük bir eleman elde ettik! Bu da bir çelişkidir haliyle! Yani M kümesi kesinlikle boş. Bu durumda S kümesi de boş olmak zorunda çünkü M kümesi S kümesindeki her (x,y) ikilisi için x+y sayılarından oluşuyordu. S kümesi boş olduğuna göre x ve y birbirinden farklıysa çözüm yok. O halde tek çözüm x=y iken gelir ve o da (1,1) ikilisidir.

Burada Vieta Jumping yönteminden faydalandık. Vieta Jumping matematikte sayılar teorisinde zor soruların çözümünde kullanılan bir metottur. Uğraşmak isteyenler için iki soru daha yazıyorum. Kendiniz çözmeyi deneyebilirsiniz. Çözümü bu sorunun çözümüne benzer.

1. a ve b pozitif tam sayılardır. (4.a.b — 1) sayısı (4.a²–1)² sayısını bölüyorsa o zaman a = b olmak zorunda olduğunu gösterin. (IMO 1990)
2. a ve b pozitif tam sayılardır. Eğer a.b — 1 sayısı a² + b² sayısını bölüyorsa (a² + b²) / (a.b — 1) sayısının tam kare olduğunu gösteriniz. (IMO 1988) — Sorunun çözümünü açıklayan bir videoyu kullandığım 3. kaynaktan bulabilirsiniz. —

Kaynaklar:

1. Ge, Yimin. The Method of Vieta Jumping. Web. 29.10.2019 .
2. Vieta Root Jumping. Brilliant Math and Science Wiki. Web. 28.10.2019 .
3. Vieta Jumping and Problem 6, Animated Proof. PeunguinMaths. 30.10.2019 .

Ceren Şahin