Bu Yazıdan Sonra Determinant Hakkında Hiçbir Soru İşareti Kalmayacak. Determinant Tam Olarak Nedir? Nasıl Kolayca Hesaplanır? Özellikleri Nelerdir?
Determinantların geometrik sezgisini anlamak, onlar hakkında düşünme şeklinizi geliştirecektir.
Öncelikle bu yazıyı yazarken büyük yardım almama ve yazısının bir kısmını kullanmama izin verdiği için Marcel Moosbrugger’a teşekkürlerimi sunuyorum. Dilerseniz aşağıdaki linkten kendi yazısını İngilizce olarak okuyabilirsiniz.
Özellikle yeni mühendislik öğrencilerinin başına dert olan Lineer Cebir dersinde sıklıkla karşımıza çıkan bu kavram, karşımıza genelde ne olduğuyla değil, nasıl bulunduğuyla çıkar. Halbuki bu kavramın ne olduğunu kavramak oldukça kolay ve bize matematikte getirisi de oldukça fazladır. Marcel Moosbrugger’ın da dediği gibi:
- Matematikte bir şeyi nasıl hesaplayacağımız, ilk soru olmamalıdır. İlk soru her zaman şudur: “Bu kavram gerçekten NE’dir?” Daha sonra ise şunu sormalıyız: “Tamam, şimdi ne olduğunu bildiğimize göre, nasıl hesaplayabiliriz?”.
O halde biz de önce bu kavramın “ne” olduğuna, daha sonra ise yöntemlerine göz atalım.
DETERMİNANT VE GEOMETRİ
Önceki yazılarımızda matrisin ne olduğuna bakmıştık. Yazıya aşağıdan ulaşabilirsiniz. Şimdi ise neyi temsil ettiğine bakalım.
Bir matris, bir vektörü girdi olarak alıp başka bir vektörü çıktı olarak üreten bir doğrusal işlevi temsil eden sayıların bir tablosudur.
Buradan matrisimiz bir fonksiyon protokolü olup pembe renkli vektörümüzü yeşil renkli vektöre dönüştürmüştür. Fakat matrisler, birden çok vektörü de aynı protokole göre değiştirebilir. İnceleyelim:
Gördüğünüz üzere aynı matrisimiz bu sefer üç farklı vektörü (pembe, yeşil, mavi) üç yeni vektöre dönüştürmüştür. Bir şey fark ettiniz mi? Kullandığımız matrisimiz uzayımızı germiş oldu. Ne kadar giriş uzayı alırsak alalım, dönüşmeden sonra uzayımız gerilmiş oluyor. İşte bu da bize tam olarak determinantın ne olduğunu söylüyor!
Bir matrisin determinantı, bu matris tarafından alanların ne kadar ölçeklendiğini (değiştiğini) gösteren bir katsayıdır.
Matrisler doğrusal dönüşümler olduğu için, tüm alanların değişme oranını bilmek için yalnızca bir tek alanınkini bilmek yeterlidir. Örneğimize geri dönelim:
Başlangıçta birim vektörler tarafından çevrelenen dikdörtgenin alanının 1 olduğunu varsayalım. Matris dönüşümünü uyguladıktan sonra bu dikdörtgen, tabanı 2 ve yüksekliği 2 olan bir paralelkenara dönüşür. Bu nedenle, yeni dikdörtgenin alanı 4 olur. Bu da matrisimizin alanları 4 kat büyüttüğünü gösterir. Dolayısıyla, matrisimizin determinantı 4'tür. Havalı, dimi?
Fakat bu öykümüzün önemli bir istisnası var: Determinantlar negatif olabilir! Eğer 1 birimlik bir alanla başlarsak ve onu negatif bir faktörle ölçeklendirirsek, negatif bir alan elde ederiz. Ancak negatif alanlar anlamsızdır. Bu yüzden negatif determinantlarla karşılaştığımızda güzel geometrik tanımımızı nasıl anlamlandırabiliriz? Neyse ki, çözüm oldukça basittir: Eğer bir matrisin determinantı negatifse, diyelim ki -2, alanlar 2 kat ölçeklenir. Eksi işareti, sadece uzayın yönelimini tersine çevirdiğini gösterir. “Bu şimdi ne anlama geliyor?”, haklı olarak sorabilirsiniz. İnceleyelim:
Buradan şunu çıkarabiliriz:
- Alan iki katına çıkmış
- Pembe vektör ile mavi vektörün yerleri değişmiş.
İkinci maddeye dikkat edin. “Vektörlerin yerleri değişmiş”. Tam olarak “uzayın gerilimini tersine çevirmek” ifadesiyle kastedilen budur. Bu nedenle, matrisin determinantı 2 değil, -2'dir. Negatif determinantleri dahil ederek tam resmi elde ederiz:
Bir matrisin determinantı, o matris tarafından alanların hangi işaretli faktörle ölçeklendirildiğini gösterir. Eğer işaret negatif ise matris, uzayın yönelimini tersine çevirir.
BİLGİNİN GÜCÜ
Bu yeni geometrik determinant tanımını benimseyerek, başka türlü ele alması daha zor olan problemleri kolayca çözebiliriz. Örneğin, belki de şu gerçeği duymuş veya duymamış olabilirsiniz:
Bir matrisin determinantı 0 ise, o matris terslenebilir değildir.
Bir matrisin terslenebilir olmaması, matrisin temsil ettiği dönüşümün geri alınamaz veya geri döndürülemez olduğu anlamına gelir. Determinantların nasıl hesaplandığı hakkında bilgiye sahip olmadan, bu gerçeği doğrulamak zordur. Buna karşılık, determinanterin geometrik anlamı hakkında yeni kurduğumuz sezgiyi kullanarak, neden bunun doğru olduğunu açıklamak daha kolay hale gelir:
Diyelim ki determinantı 0 olan bir matrisimiz var. Bu, matrisin tüm alanlarının 0 ile çarpıldığı anlamına gelir. Bu, matrisin tüm uzayı daha düşük bir boyuta sıkıştırdığı durumlarda olabilir. Örneğin, iki boyutlu uzay tek bir çizgi veya noktaya sıkıştırılır ve böyle bir dönüşüm geri alınamaz. Bu noktada uzayımız yeterince gerilerek tabiri caizse silinmiş olur.
Bu noktaya gelerek kendinizle gurur duyabilirsiniz. Matris determinantlarını alan ölçekleme faktörleri olarak tanıttık ve matrislerin ve determinantların ünlü bir özelliğini açıklamayı başardık. Ve tüm bunları determinantların nasıl hesaplandığından bile bahsetmeden yaptık. Ancak zaten bu soru ikincil olmalı. Şimdi o ikincil soruya geçelim:
DETERMİNANT NASIL HESAPLANIR?
Zor olan kısmı atladık. Şimdi geldi kolay ama istenilen kısma… Başlayalım.
Öncelikle bir matrisin determinantı olması için kare matris olması şarttır. Ayrıca bir matrisin determinantı şu şekilde gösterilir.
Gördüğünüz gibi mutlak değer işaretine benzer iki çubuk içerisinde.
Determinantı hesaplamak için birden çok yolumuz var. Bunlar:
- 2x2 Matrisleri Kısa Yoldan Bulma
- 3x3 Matrisler İçin Sarrus Kuralı
- Kofaktör İle Laplace Açılımı (Laplace Expansion)
2x2 MATRİSLERİ KISA YOLDAN BULMA
Bu metod sadece 2x2 matrislerde geçerlidir. Şu formül uygulanarak elemanlar çapraz çarpılır:
- [(A11 * A22) - (A12 * A21)] = det(A)
Bu şekilde çok kısa yoldan 2x2 matrisleri bulabilirsiniz. Bir örnekle pekiştirelim.
3x3 MATRİSLER İÇİN SARRUS KURALI
Bu metot da özel olup sadece 3x3 matrisler için geçerlidir. Eğer lisede analitik geometriyle ilgilendiyseniz hatırlayacağınıza eminim. İnceleyelim.
Evet, bu kadar. Matrisin ilk iki satırını aşağıya tekrar yazarak çapraz bir şekilde çarpıyoruz. Çaprazın sağ tarafındakilerden sol tarafındakileri çıkardığımızda determinantı bulmuş oluyoruz. Bir örnekle pekiştirelim:
KOFAKTÖR KAVRAMI VE DETERMİNANT HESAPLAMA
Bu metot oldukça önemli çünkü bu yöntemle determinantı bulunabilen bütün matrisleri bulabilirsiniz. Başlayalım. İşte bu yöntemi kullanarak determinantı bulma adımları:
- Başlangıç olarak, verilen matrisin boyutunu kontrol edin. Determinant hesaplamanın sadece kare matrisler için geçerli olduğunu unutmayın.
- İlk adım, matrisin herhangi bir satırı veya sütununu seçmektir. Bu örnekte bir satır seçelim.
- Seçilen satır üzerinde dolaşarak, her elemanın kofaktörünü hesaplayın. Her elemanın kofaktörü, elemanın üzerinde bulunduğu satır ve sütun dışındaki elemanlardan oluşan yardımcı bir alt matrisin determinantıdır. Bu alt matrise minör denir. Kofaktör bulma formülü şudur:
4. Her elemanın kofaktörünü hesapladıktan sonra, matristeki eleman ile kofaktörünü çarpın.
5. Bu çarpımları toplayarak, determinantı elde edin.
İşte anlatması zor, uygulaması da bi o kolay olan bu yola Laplace açılımı denir. Bir örnekle pekiştirelim:
Oldukça yorucu olduğunu kabul etmek gerekir fakat çok güçlü bir yöntem olduğu da inkar edilemez.
DETERMİNANT ÖZELLİKLERİ
Son bölümüzde determinantın özelliklerinden söz edeceğiz. Bu özelliklerle ilgili bir bölüm oluşturma amacım, bir determinant problemiyle karşı karşıya kaldığınızda çözebilmeniz için kısa tüyolardan bahsetmek. Yoksa diğer iki bölümden farklı bir kural ortaya atmayacağım. Ayrıca diğer iki bölüme göre oldukça kolay anlaşılacağını düşünüyorum. Başlayalım.
- Matriste tamamen “0”dan oluşan satır veya sütun varsa, o matrisin determinantı “0”dır.
- Matriste bir satır veya sütun, başka bir sütun veya satırın aynısı veya katı ise determinant “0”dır.
- Matriste iki satır veya iki sütun yer değiştirirse determinantın işareti değişir. (10 → -10)
- Matrisin bir satırı veya sütunu bir sayıyla çarpılırsa determinant da o sayıyla çarpılır. [det(A) = 10 → ilk satırı 2'yle çarp → det(A) = 20]
- Bir satır başka bir satıra eklenir veya çıkartılırsa determinant değişmez.
- **Köşegen, alt üçgen veya üst üçgen matrislerde determinant köşegendeki elemanların çarpımına eşittir. Bu kural işinizi oldukça kolaylaştırır.
- det(A*B) = det(A) * det(B)
- det(A^-1) = 1 / det(A)
- det(A’nın transpozu) = det(A)
- det(A^n) = (det(A))^n
- k sabit bir sayı iken det(k.A) = k^satır_sayisi * det(A)
Son olarak bir not eklemek istiyorum. Bu formülü Laplace Açılımı ile sakın karıştırma.
Evet, Tebrikler. Oldukça yorucu bir yazıyı bitirdiniz. Sorularınız için lütfen çekinmeyin.
Yazarlar: Marcel Moosbrugger , Yiğit Küçükkıratlı
