Lineer Birleşim — Lineer Bağımlılık/Bağımsızlık — Uzay Germe Kavramı
Selam, bu yazımız Lineer Cebir için oldukça önemli olduğundan dikkatle okumanız tavsiye edilir. Eğer vektör kavramına aşina değilseniz aşağıdaki yazıya mutlaka bakın.
Dilerseniz hiç vakit kaybetmeden başlayalım.
LİNEER BİRLEŞİM (LİNEER KOMBİNASYON/KOMBİNAZON)
Cebirde lineer birleşim veya lineer kombinasyon, bir dizi vektörde, her bir vektörün bir skaler çarpanla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen yeni bir vektördür. Lineer birleşim, genellikle aşağıdaki formda ifade edilir:
Örnek olarak şu şekilde bir birleşim ve geometrisi yazılabilir:
Bu vektörlerin lineer birleşimleri yapılırken iki ana durum meydana çıkar.
- Lineer Bağımlılık (Linear Dependancy)
- Lineer Bağımsızlık (Linear Independancy)
LİNEER BAĞIMLILIK
Lineer bağımlılık, bir vektör kümesinin, en az bir vektörün diğer vektörler tarafından lineer kombinasyonu olarak ifade edilebildiği durumu ifade eder. Başka bir deyişle, eğer verilen vektör kümesindeki en az bir vektör, diğer vektörlerin lineer birleşimiyle elde edilebiliyorsa, o vektör kümesi lineer bağımlıdır.
Lineer bağımlılığı saptayabilmek için verilen vektörlerin sıfırdan farklı katsayılarla çarpılarak toplamının sıfır vektörüne eşitlenebildiği durumu kontrol ederiz.
LİNEER BAĞIMSIZLIK
NOT: Uzayı germenin şartıdır!
Lineer bağımsızlık, bir vektör kümesinin, tüm vektörlerin sıfırdan farklı katsayılarla çarpılıp toplanarak sıfır vektörü elde edilemeyeceği durumu ifade eder.
Başka bir deyişle, eğer verilen vektör kümesindeki vektörlerden herhangi biri, diğer vektörlerin lineer birleşimiyle ifade edilemezse, o vektör kümesi lineer bağımsızdır.
LİNEER BAĞIMLILIK/BAĞIMSIZLIK TESPİT YÖNTEMLERİ
Üç farklı yolu vardır.
- Lineer Birleşimi Sıfırlama Durumu
- Determinant Kontrolü
- Eşelon Kontrolü
LİNEER BİRLEŞİMİ SIFIRLAMA
V1, V2, V3 birer vektör ve C1, C2, C3 birer sabit sayı olmak üzere
(C1 * V1) + (C2 * V2) + (C3 * V3) = 0
ihtimali sadece
C1 = C2 = C3 = 0
iken gerçekleşiyorsa lineer bağımsızdır. Eğer sabit sayıların 0 olmadığı bir durumda dahi birleşim sıfırlanabiliyorsa lineer bağımlıdır. Örneği inceleyelim.
DETERMİNANT KONTROLÜ
NOT: Eğer determinant kavramına aşina değilseniz aşağıdaki yazıya mutlaka göz atın.
Eğer vektörler matris olarak yerleştirildiğinde kare matris oluşturuyorsa bu yöntem işleri çok kolaylaştırır.
A vektörlerin oluşturduğu kare matris olmak üzere,
det(A) = 0 ise lineer bağımlı
det(A) = 0 değilse lineer bağımsızdır.
Örneği inceleyelim.
EŞELON KONTROLÜ
NOT: Eşelon kavramına hakim değilseniz aşağıdaki yazıya mutlaka göz atın.
Eğer vektörler matris olarak yerleştirildiğinde kare matris oluşmuyorsa bu yöntem işleri çok kolaylaştırır.
- Öncelikle matris eşelon forma getirilir.
- Eğer her sütunda pivot olursa lineer bağımsız
- Diğer durumda lineer bağımlıdır.
Örneğe göz atalım.
UZAY GERME (SPACE SPAN)
İsminin çok havalı durduğuna bakmayın, cebirde fazlasıyla sıradan bir kavram olan “uzay germe”, bir vektör uzayının boyutunu artırmayı ifade eder. Bu işlemle, mevcut bir vektör uzayına yeni vektörler eklenerek, uzayın boyutu genişletilir.
Uzay germe işlemi, lineer cebirde sıklıkla kullanılır ve çeşitli uygulamalarda önemli bir rol oynar. Temel olarak, uzay germe işlemi ile yeni eklenen vektörler, mevcut vektörlerle lineer birleşimler oluşturarak, mevcut uzayın sınırlarını aşar ve yeni bir boyuta genişler.
Şu şekilde de kısaca tanımlanabilir.
- Bir V vektörünün bütün elemanları, “V1, V2, V3, V4…Vn” vektörlerinin lineer birleşimi olarak yazılabiliyorsa, bu vektörlerin oluşturduğu
S = {V1, V2, V3…Vn} kümesi V vektör uzayını gerer.
Örneği inceleyelim.
Son olarak şu örneği de inceleyelim.
Evet, oldukça verimli olduğunu düşündüğüm bir dersin daha sonuna geldik. Sorularınız için lütfen bana ulaşmayı unutmayın.
