Lineer Cebirde Çözüm Durumları- Sistemlerin Çözüm Yöntemleri

Photo by Antoine Dautry on Unsplash

Evet, önceki yazımızda elementer satır işlemleri, matris işlemleri, transpoz gibi kavramlardan bahsederek lineer cebire güzel bir giriş yapmıştık. Şimdi ise çözüm durumlarına ve yöntemlerine bakacağız. Önceki yazıya aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz.

Lineer Cebir Temelleri-Matris ve İşlemleri-Elementer Satır İşlemleri

Öncelikle şunu hepimiz bilmeliyiz: Matrisler aslında aynı sayıda değişkenin (x, y, z, etc.) kullanıldığı birkaç denklem dizisinden ibaret. Matrislerde her sütun kendi değişkeninin katsayısını gösterir

Üstteki örnekte de göreceğiniz üzere sütunlar değişkenleri gösterirken satırlar denklemleri göstermektedir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz.

• Sütun sayısı = değişken sayısı
• Satır sayısı = denklem sayısı

Tamam, burada anlaşılmayan bir noktanın kalmadığını umuyorum. O zaman önce çözüm durumlarına göz atalım, daha sonra çözüm yöntemlerine geçelim.

SİSTEM ÇÖZÜM DURUMLARI

Bir matris sistemini çözdüğümüz zaman karşımıza üç farklı sonuç çıkabilir. Bunlar:

1. TEK ÇÖZÜM
2. SONSUZ ÇÖZÜM
3. ÇÖZÜM YOK

1- TEK ÇÖZÜM

Matrisimizi uygun forma getirdiğimizde matrisin köşegeninde hiç sıfır yoksa tek çözüm var demektir. Bir örnekle pekiştirelim.

2- SONSUZ ÇÖZÜM

Matrisimizi uygun forma getirdiğimizde bir satır tamamen sıfırlanıyorsa bu durum bu sistemin sonsuz farklı çözümü olduğu anlamına gelir. Pekiştirelim.

Bu durum oluşması halinde çözümü yapılırken en alt satır dikkate alınmaz. Üstteki örneği dikkate alacak olursak, en alttaki satır dikkate alınmaz ve 2 denklem, 3 değişken varmış gibi davranılır. Bu da birazdan değineceğimiz denklem sayısının değişken sayısına eşit olmadığı çözüm sistemleri ile çözmemiz anlamına gelir.

3- ÇÖZÜM YOK

Matrisimizi uygun forma getirdiğimizde bir satırın değişkenleri sıfırlanırken çözümü sıfırlanmıyorsa o sistemin çözümü yok demektir. Pekiştirelim .

Durumları anladığımıza göre sistemlerin çözüm yöntemlerine geçebiliriz.

SİSTEM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

Bunlar ikiye ayrılır.

1. Denklem sayısı değişken sayısına eşit olanların çözüm durumları

• Gauss yok etme metodu
• Gauss-Jordan yok etme metodu
• Cramer Metodu
• Ters Matris ile çözüm metodu
• Satırca eşelon form
• Satırca indirgenmiş eşelon form

2. Denklem sayısı değişken sayısına eşit olmayanların çözüm durumları

• Satırca eşelon form
• Satırca indirgenmiş eşelon form

1.1 GAUSS YOK ETME METODU

Bu metot iki temel adımdan oluşur

1- Denklemin katsayılarını matris olarak yaz. (genişletilmiş katsayı matrisi ya da augmented matrix)

2- Elementer Satır İşlemleri ile üst üçgen matris (upper triangular matrix) oluştur.

Örnek üzerinden ilerleyecek olursak

Burada görmüş olduğunuz şekilde yapılan bir çözümde hiçbir sıkıntı çıkmayacaktır. Eğer matris 2x2 değil de daha büyük olursa, yapmanız gereken sıralama benzer bir şekilde olacaktır.

1- Denklemin katsayılarını matris olarak yaz. (genişletilmiş katsayı matrisi)

2- 1. satırdaki denklemi kullanarak ilk sütunun altını tamamen sıfırla.

3- 2. satırdaki denklemi kullanarak ikinci sütunun alt tarafını tamamen sıfırla.

4- Denklem çözülesiye kadar devam et.

1.2 GAUSS JORDAN METODU

Bu metodu sadece bazı hocalar anlattığı için yazıyorum. Normal şartlarda denklem çözümü için Gauss yöntemi zaten yetecektir.

Bu metodun farklı olan yanı matrisin köşegeninin sadece altını değil, üstünü de sıfır yapmaya çalışmanız. Bu sayede her bir satırda tek bir değişkenin katsayısı kalmış olacak ve değişkenler rahatlıkla bulunabilecek.

Fakat dediğim gibi, Gauss zaten fazlasıyla yeterli olduğundan normal şartlarda kullanmanızı tavsiye etmediğim bir metot.

1.3 CRAMER METODU

Bu metodu kullanabilmek için öncelikle “Determinant” kavramına hakim olmanız beklenmektedir.

Cramer metodunda öncelikle matrisimizin determinantın sıfır olmamasına bakılır. Bu metodun temelinde sırasıyla bütün sütunların çözüm sütunuyla yer değiştirilip determinantının hesaplanması yatar. Yöntem şu şekilde sıralanabilir.

1. Denklemin katsayılarını matris olarak yaz. (genişletilmiş katsayı matrisi)
2. Determinantını bul.
3. Aradığın değişkenin olduğu sütun ile çözüm sütununun yerini değiştir.
4. Matrisin yeni determinantını hesapla.
5. Yeni determinant / Eski determinant = Aradığınız değişkenin değeri

Evet, kulağa ilginç geliyor ama bu kadar basit. Bir örnekle pekiştirelim.

1.4 TERS MATRİS İLE ÇÖZÜM METODU

Bu metodu kullanabilmek için ters matris kavramına hakim olmanız, bir matrisin tersini bulabiliyor olmanız ve matris çarpımını biliyor olmanız beklenmektedir.

Matrisimiz A, çözüm sütunumuz b olsun. bu durumda denklemimizin

Ax = b formatında olduğunu görebiliriz. Bu denklemle çeşitli oynamalar yaparak

x = A^-1 * b formülüne ulaşabiliriz.

Bir matrisi, ters matrisi yardımıyla çözebilmek için öncelikle matrisin tersi bulunur. Daha sonra yukarıdaki formülde yerleştirilerek değişkenlerimiz bulunur. Yine bir örnekle pekiştirelim.

2.1 SATIRCA EŞELON MATRİS METODU

Denklem sayısının değişken sayısına eşit olduğunda nasıl yollar izleyebileceğimizden bahsettik. Peki ya bu değerler birbirine eşit değilse?

Bu durumda karşımıza satırca eşelon matris (row echelon form) adında yeni bir kavram çıkıyor. Bu kavramı açıklayacak olursak satırca eşelon matris, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tamamen 0' lardan oluşan satır varsa en alt satırda olmalıdır.
2. Her satırın sıfırdan farklı ilk elemanı 1 olmalıdır.
3. Her satırda sıfırlardan sonra gelen 1'in altında kalan bütün elemanlar 0 olmalıdır.
4. 1'ler basamak oluşacak şekilde dizilmelidir.

Bu kuralları uygularken Elementer Satır İşlemleri kullanacağız.

Bu kurallar gözetildiğinde karşımıza 1'lerin (daha sonra bunlara pivot diyeceğiz.) basamaklar halinde dizildiğini göreceğiz. Aşağıdaki örneğe göz atalım.

Aşağıdaki örnekte ise bir matrisi eşelon forma dönüştürme gösterilmiştir.

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Eşelon formu öğrendik. Peki denklemleri bu yolla nasıl çözeceğiz?

1- Eşelon forma getirilmiş matrislerde satırlarda soldan sağa doğru 0'lardan sonra gelen ilk 1'ler “pivot” olarak adlandırılır.

2- Pivot bulunan sütunlara temel değişken(basic variable), bulunmayanlara ise serbest değişken(free variable) denir.

3- Serbest değişkeni cinsinden temel değişkenler bulunur.

Biraz kafa karıştırıcı gözükebilir fakat örneklerden ilerleyecek olursak oldukça kolay.

2.2 SATIRCA İNDİRGENMİŞ EŞELON MATRİS METODU

Denklem sayısının değişken sayısına eşit olmadığı sistemlerin bir diğer çözüm durumu ise satırca indirgenmiş eşelon matris yöntemi ile çözümdür. Bu yöntemin “satırca eşelon matris” metodundan tek farkı şudur:

• Matris, eşelon forma getirildikten sonra her pivotun üstü de sıfır yapılmalıdır.

Aslında eşelon-indirgenmiş eşelon yöntemlerinin arasındaki fark, Gauss-Gauss Jordan yöntemlerinin arasındaki farka çok benziyor. O nedenle Gauss Jordan yönteminde söylediğimi tekrarlayacağım. Eğer sınavda indirgenmiş eşelon metodu ile çözmeniz istenmiyorsa 2.1 yöntemini kullanmanız işinizi daha kolaylaştıracaktır. Bir örnekle indirgenmiş eşelon matris metodunu da pekiştirelim.

Evet, Lineer Cebir için oldukça verimli olduğunu düşündüğüm bir dersin daha sonuna geldik. Sorularınız olursa mutlaka çekinmeyin.