Lineer Cebirde Özdeğer, Özvektör (Vektör Karakteristiği) Kavramları, Cayley-Hamilton Teoremi
Selam, bugün Lineer Cebir serimizin son yazısı olarak özdeğer ve özvektör kavramından bahsedeceğiz. Hiç vakit kaybetmeden başlayalım.
ÖZDEĞER (EIGENVALUE)
Lineer cebirde, bir matrisin özdeğerleri veya kısaca özdeğerler, bir matrisin karakteristik kökleri olarak da bilinen kendi kendine özdeğer denklemi olan det(A — λI) = 0 denklemini sağlayan λ (lambda) değerleridir. Burada, A bir n × n kare matrisi temsil eder, I n × n birim matrisi temsil eder, ve det(A — λI) matrisin determinantını gösterir.
Bir matrisin özdeğerleri, matrisin lineer dönüşmelerdeki özel özelliklerini ifade eder. Özdeğerler, bir vektörün, o vektörün matris tarafından ölçeklendirilmesiyle sonuçlan|an skaler değerlerdir. Özdeğerlere karşılık gelen özvektörler, matrisin bu özel dönüşümleri sırasında değişmeyen doğrultuları temsil eder.
Özdeğerlerin hesaplanması, det(A — λI) = 0 denkleminin çözülmesi ile gerçekleştirilir. Bu denklemi çözerek, matrisin özdeğerleri bulunur. Her bir özdeğer, matrisin karakteristik polinomunun kökü olarak belirlenir. Özdeğerlerin matrisin boyutuna bağlı olarak birden fazla olabileceğini unutmayın.
NOT: Karakteristik polinom, özdeğerleri veren polinomdur.
Hatırlatma: | A — λI |= 0 denklemini sağlayan λ değeri özdeğerdir.
ÖZVEKTÖR (EIGENVECTOR)
Özvektör, bir lineer dönüşümün veya matrisin, bu dönüşümü uyguladığında sadece ölçeklenen bir vektördür. Matematiksel olarak ifade edildiğinde, bir matrisin özvektörleri, sıfırdan farklı bir vektör x için,
A x = λ x
eşitliğini sağlayan vektörlerdir.
Burada A bir n × n kare matrisi, λ (lambda) bir skaler değer ve x özvektördür. Eğer A x = λ x denklemi sağlanıyorsa, o zaman x, matrisin özdeğerine (λ) karşılık gelen bir özvektördür. Özvektörler, matrisin lineer dönüşümü sırasında değişmeyen doğrultuları temsil eder.
Özvektörler, matrisin özdeğerlerine bağlı olarak farklı doğrultularda uzanabilir. Bir matrisin birden fazla özdeğeri varsa, her özdeğere karşılık gelen farklı özvektörler olabilir. Özvektörler, yönleri ve büyüklükleri bakımından birbirinden farklı olabilir, ancak aynı özdeğere karşılık gelirler.
Şimdi özdeğer ve özvektörlerle ilgili örneğimize göz atalım.
CAYLEY — HAMILTON TEOREMİ
Cayley-Hamilton teoremi, bir matrisin karakteristik polinomu kullanılarak kendisini sağladığını ifade eden bir teoremdir. Matematiksel olarak ifade edildiğinde, bir n × n kare matris A için Cayley-Hamilton teoremi şu şekilde ifade edilir:
P(λ) = |A — λI| olduğundan
P(A) = 0 olarak bulunur.
Burada P(t), A’nın karakteristik polinomunu temsil eder ve 0 matrisi ifade eder.
Cayley-Hamilton teoremi, matrislerin cebirsel özelliklerini açığa çıkarır. Bu teorem, her matrisin kendi karakteristik polinomunu sağladığını gösterir. Karakteristik polinom, matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini belirlemeye yardımcı olan polinomdur.
Hatırlatma: Her kare matris, kendi karakteristik polinomunun köküdür.
Hatırlatma: Her kare matris, kendi karakteristik polinomunda yerine yazıldığında sonuç 0 çıkar.
Aşağıdaki örneğe göz atalım.
Böylelikle Lineer Cebir serimizi tamamlamış oluyoruz. Sorularınız olursa bana ulaşabilirsiniz.
