Lineer Cebirde Baz (Basis), Boyut — Koordinat Vektörü ve Baz Değişiminin Temelleri
Selam, bugün sizlerle Lineer Cebirde Baz, Boyut, Koordinat Vektörü ve Baz Değişiminin Temellerine göz atacağız. İsterseniz hiç vakit kaybetmeden başlayalım.
BAZ NEDİR? (BASIS)
Lineer cebirde baz (veya baz vektörler) bir vektör uzayının tüm diğer vektörlerini oluşturmak için kullanılan bağımsız vektörlerdir. Bir baz, vektör uzayının her noktasının bir tek şekilde ifade edilebildiği bir vektör kümesidir. Bu vektörlerin herhangi bir lineer kombinasyonu, vektör uzayının tamamını oluşturabilir. Örneğin üç boyutlu bir koordinat düzleminde x = 0, y = 0 ve z = 0 doğrularımız üç boyutlu uzayın birer bazıdır.
Biraz daha teknik bir açıklama yapacak olursak bir kümenin bir vektör uzayında baz olabilmesi için,
S = {V1, V2, V3…Vn} ve V bir vektör uzayı
iken iki şartı yerine getirmesi beklenir.
- S kümesi V vektör uzayını germelidir.
- S kümesindeki vektörler lineer bağımsız olmalıdır.
Bu iki şartı sağladığında
S kümesi, V vektör uzayı için bir bazdır.
denilebilir. Örneğe geçmeden önce cebirde Standart Bazlarımızı öğrenelim.
STANDART BAZLAR
Standart baz, vektör uzayının her bir boyutunda birim vektörlerden oluşan bir bazdır. Her boyut için standart baz, o boyutta sadece bir vektörden oluşur ve bu vektör, o boyutun diğer tüm vektörlerini oluşturmak için kullanılabilir.
Örneği inceleyelim.
Gördüğünüz üzere yukarıdaki örneklerle belirtilen uzaydaki bütün vektörleri oluşturabiliriz. Bu nedenle baz denmektedir.
Aşağıdaki baz sorusuna göz atalım.
BOYUT
Lineer cebirde “boyut”, bir vektör uzayının içerdiği bağımsız vektör sayısını ifade eder. Bir vektör uzayının boyutu, o uzayın baz vektörleri tarafından oluşturulan en büyük bağımsız vektör kümesinin eleman sayısıdır. Farklı bir deyişle:
V bir vektör uzayı ve S bu vektör uzayında bir baz ise
S kümesinin eleman sayısına boyut denir.
Örneği inceleyelim.
NOT: Eğer uzayın boyut sayısı verilmişse ve S kümesinin baz olma durumu soruluyorsa, S kümesinin baz kurallarından birini sağlaması yeterlidir.
BAZ DEĞİŞİMİ
Bazen bir problem için uygun olan baz, başka bir problem için uygun olmayabilir. Bu durumda bazımızı probleme göre değiştirmemiz gerekir. Bunu yapabilmek için “Baz Değişimi” kurallarından faydalanırız. Fakat baz değişimine geçmeden önce koordinat matrisini (geçiş matrisi) biliyor olmanız gerekir.
KOORDİNAT VEKTÖRÜ (GEÇİŞ VEKTÖRÜ) (TRANSITION VECTOR)
Koordinat vektörü, bir vektörün bir bazda ifade edildiği ve bu bazdaki katsayıların bir sıralı listesi olarak temsil edilen bir vektördür. Koordinat vektörü, bir vektör uzayındaki vektörleri sayısal olarak temsil etmek için kullanılır. Ayrıca koordinat vektörü (V)s şekline gösterilir. İnceleyelim:
V vektör uzayı olmak üzere, S = {V1, V2, V3} bazı oluşturulurken,
V = (C1 * V1) + (C2 * V2) + (C3 * V3) oluşuyorsa
(V)s =(C1, C2, C3) → koordinat vektörüdür.
Örneği inceleyelim.
Baz değişimine gelelim.
B = {V1, V2} , B' = {V1', V2'} 2 baz olmak üzere
Bu durumda, B' den B ye baz değişiminin koordinat matrisi (geçiş matrisi) şu olur.
NOT:
İsterseniz aşağıdaki birkaç baz değiştirme örneği inceleyebilirsiniz.
Evet, Lineer Cebirde son bir dersimiz kaldı. Gelecek derste görüşmek üzere.
