Lineer Cebirde Vektör Kavramı — Vektör Uzayı Kavramı — Alt Uzay Kavramı

Photo by Alvaro Pinot on Unsplash

Selam, bugün Lineer Cebirde “Vektör” ve ”Vektör Uzayı” kavramlarına göz atacağız. Hiç vakit kaybetmeden başlayalım.

VEKTÖR NEDİR?

Vektör, bir uzayda yönü, büyüklüğü ve doğrultusu olan niceliği temsil eden bir matematiksel nesnedir. Genellikle vektör, bir dizi sayıdan oluşan matris olarak gösterilir. Örneğin, Rⁿ uzayında bir vektör n tane gerçel sayıdan oluşan bir n-boyutlu sütun veya satır matrisi şeklinde temsil edilir.

Bir vektörün yönü ve doğrultusu, üzerinde bulunduğu uzaydaki referans noktasından başka bir noktaya olan bağıl konumunu belirtir. Büyüklüğü ise vektörün uzunluğunu veya büyüklüğünü ifade eder. Kafalar karıştığına göre devam edelim çünkü emin olun her şey toparlanacak.

https://en.wikipedia.org/wiki/Three-dimensional_space

Yukarıdaki örnekte 3 boyutlu bir uzayda P vektörünün koordinat düzleminde gösterimi yapılmıştır.

Vektörleri şu şekilde ikiye ayırabiliriz.

1. KONUM-YER VEKTÖRÜ

• **Bu vektörlerin başlangıcı orijindedir.
• Şu şekilde gösterilir.

Yukarıdaki örnekte vektör orijinden başlayarak (1,2,3) koordinatında bitmiştir.

2. BAŞLANGIÇ-BİTİŞ VEKTÖRÜ

• Bu vektörlerin başlangıcı ve bitişi özel olarak tanımlanmıştır.
• Bu vektörlerle işlem yapılmadan önce mutlaka konum-yer vektörüne dönüştürülmelidir.
• Gösterimi ve dönüştürülmesi şu şekildedir.

VEKTÖR UZUNLUĞU BULMA (VEKTÖR NORMU BULMA)

Öncelikle vektörün uzunluğu veya diğer adıyla normu,

| V | şeklinde gösterilir.

Vektörün büyüklüğü, vektörün bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır. Eğer v = (v₁, v₂, …, vₙ) bir n-boyutlu vektör ise, |v| sembolü aşağıdaki gibi gösterilir:

|v| = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²)

Örneğin, v = (3, 4) şeklinde bir 2-boyutlu vektör düşünelim. Bu durumda, |v| = √( 3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 olur.

Vektörün büyüklüğü veya normu, vektörün uzunluğunu temsil eder ve sıfırdan farklı herhangi bir vektörün büyüklüğü pozitiftir.

BİRİM VEKTÖR

• Uzunluğu ‘1’ olan vektörlere denir.

| V | = 1

olarak gösterilebilir.

HERHANGİ BİR VEKTÖRÜ BİRİM VEKTÖRE ÇEVİRME

Herhangi bir vektörü birim vektöre çevirirken iki farklı yol vardır.

1- Kendisi ile Aynı Yönlü ve Aynı Doğrultulu Vektör

• v bir vektör olsun.

2- Kendisi ile Zıt Yönlü ve Aynı Doğrultulu Vektör

• v bir vektör olsun.

Aşağıdaki örneği inceleyelim.

VEKTÖR ÇARPIMLARI

Vektörlerde çarpma ikiye ayrılır.

• İç Çarpım (Dot Product/Scalar Product)
• (CALCULUS II) Vektörel Çarpım (Vector Product)

İç Çarpım yapılırken iki vektör arasındaki çarpım sonucunda skaler bir değer elde edilir. Bu çarpım, “·” veya “<>” sembolleriyle temsil edilir. Skaler çarpım, vektörlerin bileşenlerinin çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır. Sonuç olarak bir sayı elde edilir, vektör değil. Örneğin, v · u = v₁u₁ + v₂u₂ + … + vₙuₙ. Örneğe göz atalım.

İKİ VEKTÖRÜN DİKLİK VE PARALELLİK ŞARTI

• Dik olma şartı, vektörlerin iç çarpımının 0 olmadı durumunda gerçekleşir.

• Paralel olma şartı ise, vektörlerin her bir değişkenlerinin oranının birbirine eşit olması durumunda gerçekleşir.

İKİ VEKTÖR ARASI AÇI

İki vektör arasındaki açı aşağıdaki formül ile bulunur.

NOT: a ve b birer vektör olsun.

• Eğer <a,b> = 0 ise aralarındaki açı 90°
• Eğer <a,b> > 0 ise aralarındaki açı dar açıdır.
• Eğer <a,b> < 0 ise aralarındaki açı geniş açıdır.

VEKTÖR UZAYI

Vektör uzayı, bir küme veya alan ile bu alanda tanımlanan vektörlerin oluşturduğu bir yapıdır. Bir vektör uzayının içerisindeki vektörler belli ortak şartları yerine getirmelidir.

Vektör uzayının temelde 10 şartı yerine getirmesi beklenir. Tanımlamak istersek a, b, c; V vektör uzayının elemanları olsun. d, e ise sabit bir sayı olsun.

1. a + b = f ise f, V uzayının bir elemanıdır.
2. a + (b + c) = (a + b) + c “birleşme özelliği”
3. a + b = b + a “değişme özelliği”
4. a + 0 = a
5. a + (-a) = 0 olmak üzere -a, V uzayının elemanıdır.
6. d * a = g olmak üzere g, V uzayının bir elemanıdır.
7. d * (a+b) = d * a + d * b
8. (d + e) * a = d * a + e * a
9. (e * d) * a = e * (d * a) “çarpmada birleşme özelliği”
10. a * 1 = a

Bu kuralların hepsini sağlayan V, bir Vektör Uzayı olarak kabul edilir.

Vektör uzayları, matematiksel analiz, lineer cebir, fizik, mühendislik ve diğer birçok alanda yaygın olarak kullanılır. Örneğin, fizikte kuvvet, hız ve ivme gibi vektör nicelikleri ifade etmek için kullanılır. Matematiksel modellemelerde ve veri analizinde de önemli bir rol oynar.

Vektör uzayları, vektörlerin matematiksel işlemlerle bir araya gelerek çeşitli problemleri çözmemize olanak sağlayan önemli bir araçtır. Bu yapı, lineer bağımlılık, lineer denklem sistemleri, matrisler ve dönüşümler gibi daha ileri konulara da temel oluşturur.

ALT UZAY

Alt uzay, özel olarak tanımlanmış vektör uzayının bir alt kümesidir. Biz Lineer Birleşim, Uzay Germe gibi “havalı görünen” kavramlardan bahsederken alt uzaylar üzerinden ilerleyeceğiz. Tanımlamak istersek bir alt uzay oluşması için iki kural gerekir. W1 ve W2, W alt uzayımızın elemanları; a ise bir sabit sayı olmak üzere,

1. (W1 + W2) ‘nin değeri, W alt uzayının elemanı olmak zorundadır.
2. c, W alt uzayının elemanı olmak üzere,

a * c

W alt uzayının elemanı olmak zorundadır.

Örneğimize göz atalım.

Evet, bu yazımızda vektör, vektör uzayı, alt uzay kavramların sağlam bir giriş yapmış olduk. Sorularınız olursa mutlaka bana ulaşmayı unutmayın.

Yazar: Yiğit Küçükkıratlı