Gödelin toinen epätäydellisyyslause
Yksinkertaisesti selitettynä
Ensinnäkin, kun sanon “todistettu”, tarkoitan, että “todistettu kaiken matematiikan avulla”. No niin: kaksi plus kaksi on neljä, kuten hyvin tiedätte. Ja, tietysti voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi on neljä (todistetaan siis kaiken matematiikan avulla, kuten sanoin, vaikka kahden plus kahden tapauksessa on kyse tilanteesta, jossa emme tietenkään tarvitse kaikkea matematiikkaa todistamaan, että se on neljä). Ja, kuten ei ehkä aivan niin selvää, voidaan myös todistaa, että voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi on myös neljä. Ja voidaan todistaa, että voidaan todistaa, että voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi on neljä. Ja niin edelleen. Itse asiassa, jos väite voidaan todistaa, voidaan myös todistaa, että väite voidaan todistaa. Ja sekin voidaan todistaa.
Kaksi plus kaksi ei ole viisi. Ja voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi ei ole viisi. Ja voidaan todistaa, että voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi ei ole viisi, ja niin edelleen.
Siis: voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi ei ole viisi. Voidaanko myös todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi? Se olisi lievästi sanottuna merkittävä isku matematiikkalle, jos se voitaisiin todistaa. Jos voitaisiin todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi, voitaisiin myös todistaa, että viisi ei ole viisi, ja silloin ei olisi yhtään väittämää, jota ei voisi todistaa, ja matematiikka olisi täyttä roskaa.
Haluamme siis nyt kysyä, voidaanko todistaa, että ei voida todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi? Tässä on järkytys: ei, ei voida. Tai hieman asiaa lieventääkseni: jos voidaan todistaa, että ei voida todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi, niin voidaan myös todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi, ja matematiikka on täyttä roskaa. Itse asiassa, jos matematiikka ei ole roskaa, niin mitään väitettä muodossa “väitettä X ei voida todistaa” ei voida todistaa.
Jos siis matematiikka ei ole roskaa, niin vaikka ei voida todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi, ei voida todistaa, että ei voida todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi.
Jos muuten haluat tietää: kyllä, voidaan todistaa, että jos voidaan todistaa, että ei voida todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi, voidaan todistaa, että kaksi plus kaksi on viisi.
Ote George Boolosin artikkelista “Gödel’s Second Incompleteness Theorem Explained in Words of One Syllable”. Artikkeli ilmestyi vuonna 1994 Mind-lehdessä (New Series, 103/409, s. 1–3).
Boolos (1940–1996) oli amerikkalainen filosofi ja matemaattinen loogikko, joka opiskeli muun muassa Raymond Smullyanin ja Hilary Putnamin ohjauksessa. Hän kirjoitti vuosien aikana lukuisia matemaattista logiikkaa, matematiikkaa ja Gottlob Fregeä käsitteleviä kirjoituksia.
Boolos menehtyi vuonna 1996 haimasyöpään.
Kirjoituksen on suomentanut Thomas Brand (Twitter).
