Квантовая экономика и квантовые вычисления в экономике
А.Н. Козырев
Данная публикация представляет собой пересказ пленарного доклада от 01.10.2018 в Нижнем Новгороде на 41-заседании международной научной школы-семинара «Системное моделирование социально — экономических процессов» имени академика С.С. Шаталина. В качестве заставки использован второй слайд презентации доклада в несколько усеченном виде, далее все слайды представлены как врезки.
Обращение к теме квантовой экономики связано с рядом событий, не очень связанных между собой, но создавших вместе эффект резонанса. В их числе сообщения В.И. Данилова на семинарах в ЦЭМИ РАН о квантовых эффектах в теории игр и короткий, но содержательный разговор с директором ИППИ РАН А.Н Соболевским о докладе академика-математика В.П. Маслова на семинаре В.М. Полтеровича в ЦЭМИ РАН, где мы оба присутствовали и в какой-то мере участвовали. Напоминание об этом событии и высказанных на семинаре идеях оказалось своевременным и очень полезным. В частности, возникший еще раньше интерес к перспективам применения квантовых вычислений в экономике несколько сместился от чисто вычислительных аспектов к самой экономике и наличию в ней квантовых эффектов.
Интерес к квантовым вычислениям и квантовой информатике, восходящей к идеям Ю.И. Манина (Манин, 1980), возник еще раньше в связи с ожиданием прорыва в создании классических (цифровых) квантовых компьютеров и очевидными успехами фирмы D-Wave systems в разработке, производстве и продажах аналоговых (адиабатических) квантовых компьютеров.
Важно отметить, что квантовые эффекты давно используются в производстве вычислительной техники, прежде всего, в создании памяти. Это известные всем флешки и SSD-диски. Центральная идея Ю.И. Манина состояла в том, чтобы использовать квантовые эффекты непосредственно в вычислениях, разрабатывая на их основе специальные квантовые алгоритмы. В настоящее время это направление интенсивно развивается. В том числе разработкой вычислительных алгоритмах на основе квантовых эффектов занималась группа В.П. Маслова. А потому короткий разговор в ИПИИ РАН оказался достаточным поводом, чтобы вернуться к идеям В.П. Маслова о квантовой экономике.
Небольшая книга В.П. Маслова о квантовой экономике (Маслов, 2006), как и его доклад в ЦЭМИ РАН, не была воспринята всерьез ни экономистами-теоретиками, ни практиками. Разумеется, отчасти это связано с неподъемной для большинства экономистов сложностью используемого математического аппарата, о чем прямо сказано в послесловии ко второму изданию книги. Но сводить все к одной этой причине было бы наивно. Помимо нее, были еще, как минимум, две причины. Первая из них — неверие экономистов в наличие квантовых эффектов в экономике и, как следствие, нежелание прилагать усилия к их поиску и освоению сложного математического аппарата, вторая причина — невозможность ни доказать, ни опровергнуть что-то путем эксперимента. Однако квантовые эффекты не так-то просто обнаружить и в физическом мире, а понять их в обычном смысле этого слова вообще нельзя, поскольку в непосредственно наблюдаемой физической действительности ничего такого просто нет. Потому нет подходящих образов. А если они где-то есть, то именно в экономике, социологии, психологии.
Одно из фундаментальных понятий квантовой механики — суперпозиция квантовых состояний. Оно просто выражается математически, но трудно для восприятия, эта трудность связана с тем, что квантовая система находится не в одном из базовых состояний, а сразу во всех. При измерении она может оказаться в любом из них, но с разной вероятностью. Наивное толкование этого эффекта — предположение, что наблюдатель до измерения не знал о состоянии системы, а после измерения знает. Парадокс заключается в том, что дело тут не в незнании наблюдателя, устраняемом при наблюдении, а в том, что само измерение влияет на результат. Подробное описание этого эффекта и обоснование его наличия лучше читать в учебниках по физике. Маслов же говорит фактически о суперпозиции состояний экономики, где измерение влияет на результат не меньше, чем в физике. Разумеется, измерение здесь надо понимать достаточно широко. Измерения в экономике — это не только подсчет объемов выпущенной продукции или затрат труда в человеко-часах, но и определение стоимости активов или бизнеса в целом (профессиональная оценка), установление цен на основе соображений о ценностях, выгодах и справедливости, а также сами сделки, совершаемые на условиях договорной цены. Наиболее ярко влияние самой сделки на стоимость проявляется в нематериальной сфере, в том числе, в экономике цифровых продуктов и услуг. Этот факт образно отражен на слайде 2.
В своей книге В.П. Маслов пишет о том, что экономика, как и квантовая система, находится сразу в двух, как минимум, состояниях. В одном из них сложение обычное, то есть А+А=2А, в другом — идемпотентное, то есть А+А=А. Не погружаясь в математический аппарат квантовой механики и идемпотентного анализа (Колокольцев и Маслов, 1994), заметим, что идемпотентное сложение характерно для знаний (Макаров, 1973) и цифровых продуктов, играющих в экономике все большую роль. Неопределенность вычитания таких продуктов — оборотная сторона идемпотентности сложения — влечет неконкурентность в потреблении. Самым дефицитным ресурсом становится внимание целевой аудитории, стоимость все больше зависит от наблюдения. Иначе говоря, все очень напоминает квантовые эффекты.
Разумеется, мы живем не в микромире, но отношения людей во многом похожи на связи между частицами, а коллектив — нечто иное, чем совокупность отдельных личностей. Тут и коллективное сознание, напоминающее в чем-то квантовую запутанность, и связи всех со всеми, и более тесные связи с ближайшими (в самых разных смыслах) соседями, и попадания в энергетические ямы при охлаждении или трудности понимания. Сходство с квантовой системой, разумеется, далеко не полное, но вполне достаточное, чтобы попробовать объяснить самые интересные эффекты — квантовый параллелизм и туннельный эффект.
Самый очевидный пример для демонстрации квантового параллелизма — реакция аудитории на необычное произведение искусства или на научный доклад, сложность которого находится на пределе доступности понимания аудиторией. Люди в аудитории составляют не просто массу ничем не связанных индивидов, а некоторую общность. В чем-то их можно уподобить квантовой системе, хоть и с большой натяжкой. По ходу доклада они что-то понимают, что-то не понимают. Вполне можно говорить, что они находятся сразу в двух состояниях — понимания и непонимания. Но что происходит, если кто-то спросит соседа: «Ты хоть что-нибудь понимаешь? Я ничего не понимаю, а ты»? Тут можно с полной уверенностью утверждать, что сосед признает, что он тоже ничего не понимает. Возможно, до того он думал, что понимает или сомневался. Но при такой постановке вопроса, его ответ «нет» практически очевиден. И наоборот, если в зале кто-то достаточно ясно демонстрирует понимание, то вся аудитория дружно начинает «понимать». Можно назвать это явление конформизмом или как-то еще. Но сходство с квантовым параллелизмом, если имеешь о нем представление, достаточно очевидно. Более того, конформизм сам по себе очень напоминает туннельный эффект, о котором буде подробно сказано чуть позже.
Чтобы двигаться дальше к пониманию применимости математического аппарата квантовой механики в экономической науке, полезно сделать небольшое отступление и показать, как великие ученые из разных областей науки использовали или не использовали математику.
На слайде 3 схематично представлены подходы к применению математики трех выдающихся ученых 20-го века. Выбор именно этой тройки обусловлен не столько личными пристрастиями автора, сколько наличием информации, в том числе, полученной от самих исследователей.
О подходе Дирака известно, прежде всего, из его книги (Дирак, 1979), точнее, из предисловия к ней, написанного редактором ее русского издания (В. Фоком).
«Если оставить в стороне первые четыре параграфа, то можно сказать, что автор строит теорию по методу «математической гипотезы»: сперва вводится математический аппарат (начиная с теории линейных операторов), а затем для него подыскивается физическое толкование. Блестящим примером применения метода математической гипотезы является открытая Дираком теория позитронов». В. Фок
О подходе Л.В. Канторовича к изучению экономики автору известно отчасти из общения с ним, но в еще большей степени из общения с его учениками –математиками, развивавшими его идеи в области функционального анализа и математического программирования. В подходе Канторовича пространство продуктов и пространство цен — частный случай сопряженных пространств. Возможно, самое трудное здесь — увидеть, что двойственные переменные — это цены. Впрочем, еще труднее доказать это тем, кто не хочет, чтобы ему доказали. Первоначально идея цен на основе двойственности вызывала столь сильное отторжение со стороны ортодоксов, что Канторовичу пришлось придумать термин «объективно обусловленные оценки». Сейчас подход Канторовича признан едва ли не каноническим, но реально использовать его умеют отнюдь не все, точнее, очень немногие. Инструмент двойственности в принципе, позволяет моделировать систему цен в зависимости от того, как устроено пространство продуктов. В частности, если сложение продуктов идемпотентно, то цены должны быть индивидуальными для каждого агента. Практики приходят к тому же выводу интуитивно, а не через математику и двойственность. При этом дифференциация цен на одинаковые продукты не приветствуется в большинстве стран мира, а где-то и просто запрещена. Тут между физикой и экономикой пролегает пропасть. Тем не менее, сходство подходов Канторовича и Дирака очевидно. Тем же путем в целом идет и Маслов, используя математический аппарат квантовой механики. Сходство с подходом Дирака заключается в применении одинакового математического аппарата, а сходство с подходом Канторовича — в области его применения.
Принципиально иной подход декларировал Алчиян. На прямой вопрос о том, почему представители научной школы, к которой он принадлежит, не используют математические модели, был получен столь же прямой ответ. По мнению Алчияна сначала приходит интуитивное понимание. Далее оно формулируется вербально, в виде некоторого принципа. А затем он либо прямо проверяется на практике, либо строится математическая модель, а потом она проверяется на практике, как и первоначальная идея. В конечном счете, важно лишь знание, подтвержденное практикой, а не математическая модель. По этой причине модель в большинстве случаев можно вообще исключить как лишнее звено. Надо признать, что такой подход не только имеет право на существование, он гораздо более научный, чем подход, когда модель не проверяется практикой, а гипотезы проверяются на модели. И все же он заведомо уступает подходу Дирака, Канторовича и Маслова в прогностической силе.
Следующий шаг в методологии — использование аналоговой модели с математикой «за кадром». Он может быть очень полезен в дальнейшем при изложении принципов адиабатических квантовых вычислений. Но сначала его лучше показать на более простом и наглядном примере.
На слайде 4 показан прием для расчета максимального количества проводов в мягкой трубке из изоляционного материала. Для этого делается петля из ремня таким образом, чтобы периметр относился к диаметру биллиардного шара, как периметр среза изоляционной трубки к диаметру провода. После этого петля из ремня до упора набивается биллиардными шарами. Число шаров в этом случае как раз соответствует максимально возможному числу проводов в изоляционной трубке. Здесь поучительно то, что шар не похож на цилиндр, а ремень — на трубку. Но в поперечном сечении того и другого получается круг, а трубка на срезе — петля, как и ремень. В итоге получаем две одинаковые конструкции — петля с набором кругов внутри. Соответствующие экстремальные задачи должны описываться одинаковыми математическими моделями. А потому натурный эксперимент с одной конструкцией дает решение и этой задачи, и другой тоже.
Этот прием автору доклада был когда-то продемонстрирован профессором Г.Ш. Рубинштейном со ссылкой на Л.В. Канторовича. Пример очень поучителен и нагляден в отличие от модели Изинга, о которой речь дальше. Так или иначе, применения модели Изинга в общественных науках чаще обсуждают физики, чем экономисты. На слайде 5 показан пример такого обсуждения в университете Гамбурга.
Судьба Изинга поразительна (Мейлихов, 2005). За всю жизнь он написал одну работу (1sing, 1925). Ее практически сразу забыли, но в 40-х вспомнили, а сейчас широко используют в различных областях науки, включая моделирование финансовых рынков (Попов и др., 2008), прогнозирование результатов выборов и многое другое. В экономических исследованиях она более всего подходит для агент-ориентированных моделей, поскольку в принципе дает возможность моделировать взаимоотношения всех со всеми или выбирать конфигурацию взаимоотношений. Однако ее ценность состоит еще и в том, что она удобна для решения задач на адиабатическом квантовом компьютере.
Если свести интересующую нас задачу к форме, представленной на слайде 6, то ее в принципе можно решать на адиабатическом компьютере. Это касается np-трудных задач, в том числе задач целочисленного программирования с булевскими переменными.
По сути, здесь представлена задача минимизации квадратичной формы, но в некоторой модификации, возможной лишь потому, что 0 в квадрате равен 0, а 1 в квадрате равен 1. Линейная часть задачи получается заменой квадратов переменных теми же переменными в первой степени, а пара совпадающих индексов — одним таким индексом. Корректна ли такая замена не только с формальной, но и с содержательной точки зрения — большой вопрос.
Модель Изинга применяется для адиабатических квантовых вычислений на основе квантового отжига, хотя изначально она была разработана как модель термического отжига. Для понимания того, как протекает вычислительный процесс, надо обратиться к слайдам 7 и 8. На слайде 7 очень схематично представлен физический кубит на основе атома водорода. Атом (справа на слайде) имеет два спина, один — спин протона, второй — спин электрона.
Оба спина могут быть направлены «вверх» или «вниз», то есть +1 и -1. Переход от +1 и -1 осуществляется по простым формулам. На слайде 8 представлена формула перехода. Время здесь измеряется в микросекундах.
На слайде 9 представлены физические параметры для работы D-Wave/
Туннельный эффект (слайд 10) принципиально отличает вычисления на адиабатических квантовых компьютерах от простых физических аналогов.
Например, в качестве аналога можно представить таз с углублениями в дне (ямками) и рассыпанным на дне горохом. При встряхивании горох будет скапливаться в ямках, причем он может перелетать из одной ямки в другую, если встряхивания достаточно сильны, и постепенно скапливаться в самых глубоких ямках. Но для преодоления выпуклости между ямками нужно достаточно энергичное встряхивание, но все же не такое, чтобы горох перелетал из любой ямки в любую.
Совершенно иначе идет адиабатический процесс. При сильном охлаждении устанавливается какое-то начальное базовое состояние (система находится в энергетической яме). Переход из одного базового состояния (энергетической ямки) происходит без «сильного встряхивания», минуя состояния, которые не являются энергетическими ямами. На слайдах это часто рисуют в виде фигуры, проходящей сквозь стену, или в каких-то иных образов. Именно в этом суть туннельного эффекта в физике. Можно поискать и при желании найти нечто подобное в поведении людей. Но сейчас речь не о том, а о том, что наличие туннельного эффекта дает замечательный вычислительный эффект, а это, в свою очередь, сулит хорошие перспективы на будущее адиабатическим квантовым компьютерам и производящей их канадской фирме D-Wave Systems. Динамика разработки и продаж адиабатических квантовых компьютеров этой фирмы представлена в таблице 1 на сладе 11. Там же представлены внешний вид этих компьютеров и чип на 2048 кубит. В целом представленные данные подтверждают сказанное выше.
На слайде 12 представлены 3 ключевые для данного доклада работы. Выбор именно этих работ связан с тем, что каждая из них привела к существенному изменению в ходе работы над темой.
Работа (Ba, Stallaert, Whinston, 2001), вообще говоря, не связана напрямую с квантовой экономикой и квантовыми вычислениями. Но в ней рассматривается очень интересная модель рынка знаний, а в качестве промежуточного шага функционирования рынка знаний возникает np-трудная задача оптимизации с булевскими переменными. Ее решение в общем случае возможно лишь полным перебором возможных вариантов. Но это именно тот случай, когда можно (в принципе) заменить ограничения функциями штрафов, привести к форме модели Изинга и решать задачу на адиабатическом квантовом компьютере.
В работе (Lucas, 2014) показано, как можно привести к форме модели Изинга практически любую задачу оптимизации с булевскими переменным и многие другие задачи. Приводятся примеры таких преобразований, причем примеры выбраны с некоторой «изюминкой, то есть такие, где преобразование можно сделать с некоторым изяществом, используя специфические особенности задачи. Также дан общий алгоритм преобразования.
В работе (Warren, 2018) показано, что можно готовить задачи для квантовых компьютеров D-Wave, вообще ничего не зная об их устройстве и о квантовой физике, как поступает большинство пользователей, работая на обычных компьютерах. Уже есть язык программирования, разработанный для компьютеров D-Wave.
Задача, представленная на слайдах 13–15, описана в работе (Ba, Stallaert, Whinston, 2001). Она достаточно типична для экономики знаний, а потому возможность ее эффективно решать очень важна.
Переход от матрицы связей из оригинальной работы к паре более простых матриц связан с использованием Булевой логики. К тому же он понятнее.
На следующем слайде 15 представлена задача целочисленной оптимизации.
Далее задача (1–2–3) переводится в стандартную форму, где вместо ограничений с идемпотентными операциями максимума и минимума используются ограничения в виде логических конструкций. Это нужно для использования техники построения штрафных функций, представленной в работах (Lucas, 2014) и (Warren,2018). Однако, очень хотелось бы найти более прямой путь реализации идемпотентных операций на квантовых компьютерах (минуя логическое представление).
На слайде 16 представлены ограничения задачи на языке логики. После этого пользуемся техникой из (Lucas, 2014).
На слайде 18 представлен вид задачи, готовой для ввода в компьютер.
Классические квантовые компьютеры отличаются от адиабатических уже тем, что они достаточно универсальны. Исходную задачу не надо приводить к модели Изинга или какому-то другому стандартному виду. Углубление в технические детали в данном случае неуместно и чревато возможностью ошибок. Однако стоит отметить, что для таких компьютеров уже существует не менее пяти алгоритмов, один из которых (алгоритм Шора) уже показал свою эффективность для взлома шифров.
Успехи в области создания таких компьютеров пока скромны, до настоящего времени они существуют лишь в виде экспериментальных образцов. Но и здесь наметился прорыв. В таблице 2 (слайд 19) представлены данные, собранные из разных источников.
Надо отметить, что заявления разработчиков, пересказываемые средствами массовой информации, противоречивы и часто запутывают читателя. Чтобы судить о ситуации объективно, надо углубляться в детали и читать только (или в основном) специальную литературы. Но даже это не всегда спасает, так как в управлении современной наукой слишком большую роль играют маркетологи и профессиональные охотники за грантами. Даже в заявлениях на научных конференциях можно заметить налет рекламы, сокрытия части неудачного опыта и других неприятных деталей.
Долгое время в разработке классических квантовых компьютеров лидировала фирма IBM. При этом она не только объявляла о своих достижениях, но и давала желающим попробовать свои силы в программировании на малом квантовом компьютере с 5 кубитами, а в 2018 году обещала предоставить для тех же целей 20 кубитный квантовый компьютер. Другие игроки ничего подобного никогда не делали. А потому на слайде компьютер IBM.
Список использованной литературы:
1. Дирак П. А. М., 1979. Принципы квантовой механики — Перевод 4-го изд. — М.: Наука, 1979
2. Макаров В.Л., 1973. Баланс научных разработок и алгоритм его решения // Сб.ст. Оптимизация, Новосибирск, 1973, вып.11(28), С.37–45
3. Манин Ю.И., 1980. Вычислимое и невычислимое. — М.: Сов. радио, 1980. — С. 15
4. Маслов В.П., 2006. Квантовая экономика, М.: Наука, 2006. — 92с.
5. Колокольцев В.Н., Маслов В.П., 1994. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. — М.: Физматлит, 1994. — 146 с.
6. Мейлихов Е.З., 2006. Трагическая и счастливая жизнь Эрнста Изинга // Природа, №7, 2006 г.
7. Попов В.Ю., Шаповал Н.Б., Гисин В. Б., Лунева Е. П., 2008. Моделирование финансовых рынков и прогноз, Отчет по научно-исследовательской работе, Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» (Финакадемия) 2008. — 18 с.
8. Ba, S., Stallaert, J., Whinston A.B., 2001. Optimal Investment in Knowledge Within a Firm Using a Market Mechanism// Management Sci-ence, 2001, 47(9), 1203–1219
9. Dirac Paul A.M., 1930. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. — 1930.
10. 1sing E. //Zeitschriftf Physik. 1925. Bd.31. S.253–258.
11. Lucas, A., 2014. Ising formulations of many NP problems. Front. Phys. 2 Article 5, 15 pages. DOI:10.3389/fphy.2014.00005
12. Warren, R. H. 2018. Mathematical Methods for a Quantum Annealing Computer. Journal of Advances in Applied Mathematics, Vol. 3, №3, July 2018
