CFA II-Reading 35 無套利評價架構(固收)
如果說物理學的基礎是E=MC²，那在金融商品的評價(Valuation/Pricing)領域，最重要的基礎就是 "無套利理論(Arbitrage Free Theory)"。
簡單的敘述性定義是：若我們不需要承擔任何風險，而能夠獲得任何利益(哪怕只有一丁點)，那麼這就是一個套利空間；而無套利理論就是市場上不存在套利空間，只要套利空間出現，就會有人快速的將它填滿，令套利空間收斂至0。
稍微嚴謹一點的數學性定義如下：
定義CF(k)是某個投資組合第k期現金流，PV是該投資組合的現值，
-- 弱無套利條件(Weak No Arbitrage Condition)是，若對於所有k期數，CF(k)都大於等於0，則PV必大於等於0。
-- 強無套利條件(Strong No Arbitrage Condition)是，對於所有期數，若 CF(k)都大於等於0，而且期中只要有某一期 l ，使得CF( l )大於0，那麼 PV 必然大於0。
聽起來是滿像廢話的一段敘述，事實上卻可以利用它來做評價，因為當我們進入固定收益與衍生性金融商品領域時，商品都在比賽看誰比較複雜，但其實很多商品本質上是類似的契約，可能只有一些細微差異；若我們稍微組合、配對一下，很多時候甚至可以組合出兩個風險一致但報酬不一致(或是相反)的交易組合，那基本上我們就找到了一個套利空間，而在無套利的條件下，這兩個風險投資組合應該有一樣的價值(價格)，這就稱之為 單一價格法則(Law of One Price)。
我們知道Black-Scholes-Merton Model其實也是源自於這個原則，原來同樣的理論用另一個角度看就可以再取一個名字，有時候甚至還可以拿諾貝爾獎。
那麼單一價格法則的"價格"該怎麼計算出來呢？ 課本提供了一個簡單的三步驟：
1. 找出未來每一期的現金流，必要時可能需要一些假設
2. 找出未來每一期適合的折現率，必要時可能需要一些假設
3. 將每一期的現金流用對應的折現率折現，然後加起來。
有沒有一種好像自己當白痴的感覺...但其實那是因為我們還沒有看到這個法則的精隨之處。
回到固定收益上，如果說付息債券的折現率並非一個個明確的值(折現率就是未來各期的短天期即期利率，理論上今天的遠期利率應該要是未來即期利率的良好估計值，但未來的事誰曉得呢？)，或是在債券的市場價格之中隱含了人們對於折現率(未來即期利率)未來走勢不確定性的看法，基本上這種不確定性是會影響到債券價值的，但老實說這很難量化，因此我們習慣將任何的價格隨機性用 "(隱含)波動度" 來描述，之後就統一針對利率波動度這個標的去探究。
關於波動度(Volatility)，它其實就是一個樣本的 "標準差" (Standard Deviation)，但是波動度是必須定義時間區間的(就像是另一個風險管理上的重要概念"風險值(VaR)”一樣)，通常我們都是用 "年化"的波動度，若題目給你的是日or月均波動度，那要自行乘以天期的平方根加以年化，反之若題目要求的節點是每個月，那就要將年化波動度除以天期的平方根；至於一年有幾天(Day Count Convention)則是各自約定即可，通常都是225 Days=1 Year。
但好在CFA 通常不會刻意考這個換算，稍微知道一下即可。
後續甚至在利率上下限與隱含選擇權債券的評價時，我們還會遇到甚至連每一期的現金流都有可能不是定值的債券型態(利率上下限或隱含選擇權等等)，依然能利用一些假設去克服。
- 二元樹模型Binomial Tree (or Lattice Model)
最簡單的假設就是我們假設債券在未來每一次償付利息或本息時，都會經歷一次未來即期利率的波動變化，而我們在此很簡單的先假設利率的變化會產生兩種可能的結果，一種是上升，一種是下跌，並且機率各半(prob=0.5)。雖然這樣的假設很不現實，但這並不要緊，因為我們之後會對模型做調校(Calibration)，校準的目標是什麼呢？ 你猜對了，就是 調整參數使得這個模型不帶有套利空間。
在做二元樹的題目時，初學時建議要一次畫出兩個二元樹，一個代表即期利率(折現率)的變化，另一個代表本息支付(現金流)的變化；之後漸漸熟悉了之後，一些現金流較簡單的債券(如無風險、無選擇權債券)可以將現金流畫在利率二元樹的節點(node)上，總之自己看的懂就可以了，若你習慣要用毛筆來作答其實也是可以。
代表利率的二元樹，由左至右，每一層都代表那個期別到次一期的短天期即期利率，比如說最左邊是第0期(現在)到第1期，這個即期利率就是確定的值，所以它就只有一個節點。
從第1期開始，因為我們現在無法確定在第1期來臨時，第1期到第2期的短天期即期利率是多少，所以要運用一些假設來估計：
假設1 遠期利率(現在就已知)仍然應該是未來即期利率的良好估計值，
假設2 利率波動度是sigma
假設3 為了不讓利率變成負值，利率變化應該服從 對數常態分布(Log-normal Distribution)
所以產生了以下性質：
性質1 次期利率上升與下跌的機率各半
性質2 同期內各節點的利率幾何平均應該近似該點的短期遠期利率f(n,1)
性質3 承上，同期內各節點之間相差 e^(2 * sigma) 倍，意即 i(1,H)= e ^(2*sigma) * i(1,L)，其中e自然對數。
二元樹何時停止成長？ 其實我們只需要畫出直到債券到期時點 "前一期" 的分岔即可，因為每個節點依照定義是代表當下直到次一期的利率，而到期的那個點上我們收取本金跟最後一次的利息後契約就結束了，後續也就沒有利率風險了，二元樹要怎樣生長都再也與我們無關，所以並不需要畫到到期，只要畫到倒數第二期即可。
(而CFA Level 2最多只會考到契約期間4期，你只需要畫到第3層)
代表本息(現金流)的二元樹，則是在節點 "之間" 列出當期可收付的金流，比如說第一期就是收一個固定的票面利息；而最後一期則是收本金加最後一期的利息，這畫在倒數第二期的節點正右方，代表的是最後一期，但因為倒數第二期到最後一期已無利率風險，所以不需要分岔，等於是一條直線。
其實至今我們都嚴格的遵守 單一價格法則(Law of one price)在走，所以最後一步就是要算出契約的現值(PV)，你會發現現在代表現金流的二元樹，在節點上都是空的，沒錯，這邊就是要讓你填上該點的契約現值用的。
要用的方法是大家耳熟能詳(?)的"倒推法"，從最右邊的終值(最後一期償還本金+利息)開始，一點一點、一期一期的往回計算。
在計算中間的節點時，要記得每一條路徑都是50%的機率，而每個節點代表的是當期的 "付息後債券現值"，算法是由後方的兩個衍生出的節點現值平均後加上後方兩節點中間那個利息數字，再用當期的即期利率折現。
基本上二元樹就是這個Reading的唯一重點，沒有很可以，但沒學會你絕對傷不起。
2. 路徑相依模型(Path-wise Model)
這其實並不是什麼新的東西，它希望我們將未來的每一種可能性都拆解成一個"路徑"，所以每一條路徑都會有各自的現金流跟利率情境，當然我們也可以為每個路徑賦予一個機率，最後就是每個路徑用機率加權平均。
基本上就是將二元樹模型像手扒雞一樣撕成一條一條的，但最後我們還是通通吃下去。這樣吃雞會比較爽嗎？ 也許會。但我知道算數學不是講求爽度，而是講求速度。
3. 蒙地卡羅模擬(Monte-Carlo Simulation)
這個Reading基本上沒有放重點在蒙地卡羅模擬上，畢竟這是一個技術性高的方法，用紙筆是相當難以實作的，所以也只會考一些敘述性的定義，真的要學，就去Coursera 找課程吧。
課本說，蒙地卡羅模擬允許我們設定模擬的路徑次數，最後再將這些路徑的產出做一個平均，原來這就是為甚麼它非得要講手扒雞(X)，我是說 路徑相依模型的理由。
我覺得應該也可以這樣去思考，想像我們還是在做二元樹模型，但期數我們可以無限切分(當然波動度就會因為期長變短而隨之縮小)，而我們也將利率的二元產出(非上即下)置換成一個連續機率密度函數，這當中自然都可以對期數、機率密度函數的參數做假設。
而另一個重點是，它強調蒙地卡羅的產出，只會恰巧與實際結果吻合，畢竟它也是一個隨機的變化過程，雖然確實有 "向均值回歸(Mean Reversion)”的特性。所以一個比較好的調校方法是直接針對每個利率加上一個固定的點數(也就是將利率結構平移)，使的最終產出等於市場價格，這稱之為 "Drift Adjusted”。
這個Reading也相對容易，只要把二元樹畫熟即可。
2019.07.24
