CFA II-Reading 36 評價與定價：隱含選擇權債券
這篇Reading是純債券評價理論的最後一篇，固定收益之後的兩篇Reading就是在講信用了，題目是隱含債券的選擇權評價，所以會一口氣將所有常見會在債券中出現的選擇權條件(Option Embedded)都講解一遍。
回想上一篇Reading我們在探討 "無倒債風險、無隱含選擇權 " 的債券評價，現在要逐步放寬條件限制，直到這篇為止討論的債券仍然是"無倒債風險" 但隱含了一些選擇權條件。
在討論隱含選擇權債券的時候，很盧的一點是，通常學到這邊的人對選擇權都不算太熟，可能最多只知道選擇權有分歐式跟美式，但不知道(不熟悉)亞式、百慕達式的概念；可能知道put-call parity、知道Black-Scholes 但不知道(不熟悉)基本的Greeks或是Exotic，而實際上要討論的債券隱含的選擇權，很多都具有這些比較進階的條件，雖然條件並都不複雜，但是因為陌生而容易令人畏懼。其實要看懂也不需要先去翻衍生性商品的書，遇到沒見過的選擇權條件再去google一下就可以了。
1. 可買回/可賣回債券 (Callable / Putable)
定義：首先這個隱含選擇權的連結標的是 "債券價格"(這邊是我個人長久以來這塊都學不好的主因，因為一開始就沒有先把選擇權的連結標的想的非常清楚，就硬要去看後面的論述，當然會看不懂，考試的時候就會想要用邏輯推理去弄答案、猜答案，然後弄不出答案就覺得固定收益很難... 所以這邊話說在前頭，可買回/可賣回的連結標的是債券價格，務必認清楚！)，而我們知道債券價格跟利率是反向關係；再來更重要的要先把這兩個條件的定義(尤其是利率與債券價格的相對方向性)搞得很清楚：
- Callable = 發行者有權買回 (當未來市場利率下降(導致債券價格漲超過履約價格)，發行者可以行使買回條件，把債券用履約價格買回來。如此可以允許發行者可以一直取得較低的利率條件。)
可想見得，這樣的條件會導致債券價格有上檔壓力，因為債券價格漲超過履約價格就會被發行者履約買回去，並沒有辦法讓持有者充分享受到市場利率下跌的好處，但相對的可買回就會比一般無選擇權(Option-free) 要便宜一些。 - Putable = 持有者有權賣回 (當未來市場利率上揚(導致債券價格跌超過履約價格)，持有者可以行使賣回條件，用履約賣回給發行者。這樣可以保障持有者不受未來市場利率上揚的風險所害。)
可想而知，這會使債券價格有下檔支撐，因為即使債券價格跌超過履約價格之後，持有人依然可以執行選擇權賣回給發行者；這樣的保障會使可賣回債券價格比Option-free貴一些。 - 幾個小重點：
a. Lockout Period (閉鎖期): 大部分的可買/賣回債券都有閉鎖期，在這段期間是不能履約的。
b. 履約形式：可買回債券可能是 歐式、美式、百慕達式(可履約的時間點只有固定幾個)；但可賣回債券通常只有 歐式或百慕達式，沒有美式的。
c. Make-Whole : 在可買回債券上，以前都是講定一個履約價的，但這對持有者就相當不利，因為如果債券被履約的話，市場利率勢必已經很低了，那麼投資人(持有人)被Call回後會面臨很高的再投資風險，因此出現了 "當發行者Call回時，履約價格應是票面價格(at Par)或 以當時的市場利率(再加上一些點數)折現未發放本息的債券價格" ，這個條件保證了投資者被Call回時，獲得至少不低票面的價值，算是一種保護投資人的條件。
— 老實說這條我自己也有看沒有懂，在正式考試中似乎沒有出過，但在題庫裡有。詳情可以參考綠角或這個網站。
評價：因為這兩個選擇權的連結標的就是債券(同條件的無選擇權債券)價格，所以價值公式概念上很直觀。
Callable = Option Free -Call Option (持有人是Short Call on Bond price)
Putable = Option Free + Put Option (持有人是Long Put on Bond Price)
以下分成四大塊來說明評價方式：
A.利率波動度：若先假設利率波動度為0 (當然這樣的假設理論上Option Value就也會是0，但為了簡化說明請先忽略這個問題)，那麼我們就可以用即期利率結構來計算債券價格，使用倒推法從債券到期日一步步倒推回來，在每個觀察日(百慕達式選擇權的每個可履約時間點上)增加判斷該債券是否需要被履約(比方說若債券會在100元被Call回，那某個觀察日的價值若高於100元，就應該要將該點的價值改為100，以反映被Call回的情況)，就可以算出債券的(無利率波動)價值。
進一步探討若利率是具有波動度的(利率波動度與債券價格波動度會是同方向的)，而我們知道波動度會直接影響選擇權價值(Vega is not equal to 0)，所以當波動度越大，Option Value越高，帶入上面的簡化公式，就會發現Callable會比較沒價值，反之Putable會比較有價值。
若利率波動度不為0，我們可以依照上一個Reading的方法，建構一個無套利空間的二元樹模型，將波動度假設帶進去，倒推法計算各節點現值，並在各個觀察日檢查是否應該履約，最終推算出無套利假設下的債券價值。
B. 選擇權調整後點差Option Adjusted Spread, OAS: "概念上"，由於各個含權的債券發行者不同，很難比較，所以我們找無風險利率結構做基準(benchmark)，並由Benchmark上每一期的折現率都增減一個固定的基點，並帶入二元樹模型(或是含有利率波動度假設的人和模擬/模型)，以使得產出的現值等於債券市值；透過不斷試誤我們可以得出的增減基點就是OAS。(若假設利率波動度為0，OAS就是先前學過的Z-Spread，事實上，Z-Spread的全名就是 Zero-Volatility Spread)
OAS這段我覺得Level 2也沒有講的非常清楚，若想深入了解建議自行Google，我有找到一個CFA家教的網誌、MBAlib也講的還算好懂、強國的CFA論壇上也有許多教材講義可以參考。
C. 利率結構變化：若利率平移，對於一般債券價格的影響是我們已經熟知的Duration概念，而Option Embedded 則是因為Option Value會隨著利率水準而變化，所以比較特殊。
話不囉嗦直接上圖來解釋，以下先假設利率結構都是平坦的。
那麼若利率結構斜率發生變化呢？可以想像一下，若利率結構是正斜率，那麼Call option(Callable)會越難落入價內，選擇權價值越低，Callable價值越高；反過來，利率結構正斜率，Put option (Putable)則更容易落入價內，選擇權價值越高，Putable價值越高。
D. 存續期間Duration：在此我們先跳轉到Duration的分析，順便複習一下存續期間(或稱久期、Duration)與曲度(Convexity)的概念。
Callable / putable的Duration是如何生長的呢？ 眼尖一點就會發現，這兩種債券價格切線斜率會在接近履約價格附近時開始變的非常平坦，Callable會在利率往下時，Putable會在利率往上時，這就是反映了上面幾個圖要說明的事情。
既然Option Embedded bond 的價值並不像Option-Free那樣平滑，那純粹使用Effective Duration (假設利率變化向左向右各位移一點點)來評估債券價格敏感度顯然會在某些反曲點附近出現嚴重的誤差，所以我們會改用 One-sided Duration或是Key Rate Duration來解決這個問題。
One-Sided Duration 基本上是望文生義，題目必然會給你(或是你要自己算)你想要評估的利率走勢方向(走上或走下)的單邊存續期間，然後給你利率變化，乘起來就是債券價格的變化量，基本上會談one-sided duration一定是要先知道自己關心的路率走向是向上還向下，CFA不會故意給你向上的one-sided duration卻問你利率向下的價格變化(這不是GMAT的Data Sufficiency 題)。
Key Rate Duration則是把利率結構的變化拆解成數個關鍵的期長(Key Points)，以一般的債券來說，最大的Key rate Duration會是最終期，因為最終期的現金流(本+息)是最大的，所以對利率波動的敏感度最大；在前面的期數Key rate duration可能是負的，這代表該期利率越高，債券價格會越高；也可能比較大的在較短天期，總之考試的時候就是把各個Key Points的利率變化乘上Key rate duration就好了。
Convexity 曲度的概念題基本上只會考曲度是正或負，也就是債券價格曲線的凹凸性，所以只需要把Callable / Putable的價格與利率變化的圖畫出來，就解完了。一般債券是恆凹向上(convex)，曲度是正值；而Putable也有恆正的曲度，但Callable的曲度則會出現負值(concave)。(請把圖畫出來！)
2. 利率上/下限 (Capped / Floored)
利率上下限條件是加在 "浮動利率債券(Floater)”上的，畢竟只有當票面利率會浮動，才會有利率上下限存在的需要。這兩個條件限制了浮動利率債券在每一期(到下一期間)的浮動利率。
要首先說明一下浮動利率債券，會訂好一些 "利率重設日"(通常是會與付息頻率一致)，在這些日子會重設下一期應付的利率，重設的利率通常是一個市場無風險benchmark(reference rate)再加一些點(credit spread)，因此一般的利率浮動債券會有幾個特性：
a. 基本上不太受即期利率波動影響(因為會重設)
b. 承上，有效存續期間(利率敏感度)大約只有"至下一個重設日"這麼長，因為最多也就只有這麼久的利率風險
c. 承上，會發現因為後一期的利息恰等於前一期利率乘上本金，所以每個二元樹模型上的節點都會是100元(平價)。
利率上/下限評價：也是相當直觀的，只要把二元樹畫出來，只是重點在 "利率"那顆樹上，若用倒推法發現有任何一個利率的節點超過上下限了，就重設成 上下限的值。
若有觸碰到上限(Capped)，那就代表下一期的利息碰到了上限值，但折現率仍然用市場利率，所以會讓債券現值小於100；而觸碰到下限(Floored)，則會讓下一期利息維持在下限值，用更低的市場利率來折現就會超過100。
除此之外Level 2在利率上下限的問題點是不會再考更深了。
3. 可轉債 (convertible)
轉債的隱含選擇權連結標的是股權，通常也就是同一家公司的普通股。
契約條件上除了債券名目本金(Notional Amount)跟票面利率之外，一定會寫明 轉換價格(Conversion price)、轉換比例(Conversion Ratio)，若像我一開始摸不清楚他們之間的關係，可以注意 "單位"：
名目本金 = 元 / 每張債券
轉換價格 = 元 / 每張(或股)普通股
轉換比例 = 張(或股)普通股 / 每張債券
這樣就不可能再把它們之間的關係搞混了(老實說我每次寫題目也都是需要把單位寫上去才有辦法解題)。
我們除了計算發行時的轉換比率，還會利用現在的轉債價格與普通股股價去計算現在轉債市場隱含的轉換權利溢酬，就是因為轉債擁有股債二元的好處，通常會令人願意多付一些價值，這部分計算就相當直觀。
轉債會有兩種特性，一是他在轉換以前仍屬於債券，所以依然要試著用債券的方法來評價；二是如果現在轉換了會更有價值，那他就應該用轉換後價值來評價 (轉換價值= 股票市值 * 轉換比例)。
因此 CB的最小價值= MAX( 同條件無選擇權債券價值 , 轉換價值 )
這個最小價值就形成了CB的價值底線，但他是一個浮動的底線(Moving Floor)，因為會同時受到利率、股價、信用等條件影響。
可轉債價值(可能還含有Callable / Putable條件) =
同條件無權債券(straight bond)
+ 轉換股份選擇權價值(call option on the issuer’s stock)
- (if any) Value of issuer call option
+ (if any) Value of investor put option
因此課文中有提到，有些時候CB實在太複雜，需要很專業的獨立財務評價人員來做，因此有些國家甚至不開放一般投資人交易CB，既然都這樣說了，基本上Level 2也不會考的太難，就是一些上面有特別提到的公式，如 轉換價值、轉換比率等。 整個Reading的考點大概就在Callable / Putable了吧。
2019.07.30
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