Arte com a matemática: Fractais

Acho que todo mundo já deve ter pelo menos ouvido falar em fractais. Dedico para vocês, designers da madrugada, uma pequena seleção com exemplos de fractais para inspirar vocês.

Para quem não sabe ou não conhece, fractais são como objetos geométricos que podem ser divididos em partes, cada uma semelhante à original mas nunca totalmente idêntica. Dizem que fractais possuem infinitos detalhes e são geralmente auto-similares* e independentes de escala. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

• Sistema de funções iteradas Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
• Fractais definidos: Já estes, são definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
• Fractais aleatórios: gerados por processos escolásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Levy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados em fractais:

• auto-similaridade exata: é a forma em que a auto-similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata.
• Quase-auto-similaridade: é uma forma mais solta de auto-similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase auto-similares, mas não exatamente auto-similares.
• auto-similaridade estatística: é a forma menos evidente de auto-similaridade. O fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não são exatamente nem quase auto-similares.

* Um objeto auto-similar é semelhante exata ou aproximadamente a uma parte de si mesmo.

Vocês podem ler mais sobre fractais na minha fonte para esse post, a Wikipedia!

Seguem abaixo alguns exemplos de fractais. Espero que gostem! =)