Lei dos Grandes Números e Cassinos
Entenda por que cassinos são (bem) lucrativos no longo prazo
Introdução
Você já se perguntou como cassinos ganham tanto dinheiro? Não sei você, mas eu sempre fiquei com essa dúvida.
Eu já tive a oportunidade de estar em cassinos de cruzeiros. E tenho que confessar: como é tentador jogar e fazer apostas lá!
Mas continuei me questionando como eles ganham tanto dinheiro, já que, eventualmente, apostadores também conquistam uma boa grana nos jogos.
Por coincidência, lendo livros como “O Andar do Bêbado” e “Estatística: o que é, para o que serve e como funciona”, entendi melhor como funciona a Lei dos Grandes Números e como ela é aplicada nos lucros de cassinos.
Com mais algumas pesquisas, aliado aos exemplos dos livros acima, resolvi escrever um artigo para mostrar como a probabilidade e estatística ajudam esses locais de jogos de azar a se tornarem rentáveis.
No entanto, antes de tudo, será necessário compreender o que é o tal do “valor esperado”.
Valor Esperado
Essa é uma medida estatística que mostra o resultado médio de uma série de eventos, ponderados pelas suas probabilidades de ocorrência.
Isto é, multiplica-se cada resultado possível pela sua respectiva probabilidade e depois soma todos os resultados.
Abaixo há a fórmula para calcular o valor esperado:
Acalme-se, não se desespere!!
Deixa mostrar esse conceito e essa fórmula com um exemplo retirado do livro “Estatística: o que é, para o que serve e como funciona”.
Imagine que você joga um dado justo de seis lados e ganhe a quantia correspondente ao número que sair:
- R$ 1 para nº 1 do dado
- R$ 2 para nº 2 do dado
- R$ 3 para nº 3 do dado
- R$ 4 para nº 4 do dado
- R$ 5 para nº 5 do dado
- R$ 6 para nº 6 do dado
Como há seis lados no dado, e esse é um evento independente, a probabilidade de cada número sair é 1/6. Nesse sentido, o cálculo do valor esperado (E) será:
Fazendo as contas, chegaremos ao valor de R$ 3,50.
À primeira vista, esse número quebrado pode soar estranho. Contudo, com o valor esperado, é possível verificar se um evento é “justo”, dado seu preço e resultado esperado.
Se você tivesse a chance de apostar R$ 3,00 no lançamento do dado, valeria a pena arriscar o jogo. Afinal, o valor esperado do resultado é R$ 3,50, o que é mais alto do que o custo de jogar (R$ 3,00).
Isso não garante que você ganhará dinheiro jogando uma vez, mas ajuda a esclarecer quais são os riscos que valem a pena correr ou não. E, no curto prazo, é bem provável que seus “ganhos” sejam diferentes do valor esperado.
Mas, no longo prazo, a probabilidade acaba triunfando. Afinal, à medida que o número de tentativas aumenta, a média dos resultados se aproxima do valor esperado.
Na questão da aposta de R$ 3,00 com o valor esperado de R$ 3,50, se você continuar jogando por um número (bem grande) de vezes, a tendência é que você tenha um belo lucro. Afinal, os resultados das rodadas vão convergir para o valor esperado (que, no exemplo, é maior que a aposta em si).
E é aqui que entra a Lei dos Grandes Números.
Lei dos Grandes Números
Essa Lei, a qual foi provada pelo matemático suíço Jacob Bernoulli (1654–1705), representa um teorema muito famoso no mundo da probabilidade e da estatística.
Ela afirma que, à medida que o número de repetições de um experimento aleatório aumenta, a média dos resultados dessas repetições tende a se aproximar do valor esperado.
Veja um exemplo com o lançamento de uma moeda.
Por exemplo, podemos lançar uma moeda 10 vezes para jogar cara ou coroa. Veja os resultados:
- 7 caras → 0,7 → 70% de caras
- 3 coroas → 0,3 → 30% de coroas
Todavia, se aumentarmos o número de tentativas para 100, é provável que o número de caras e coroas fique próximo a 50 de cada. Ou seja, vai se aproximando do valor esperado de 0,5 (50%).
Veja esse GIF que retirei do vídeo “Probabilidade e Lei dos Grandes Números | Físico Responde #26”, do canal do DOUG. FISICA. Observe que, conforme os lançamentos aumentam, as curvas se aproximam do 50%.
Com essa lei, é possível associar diversas situações, como:
- Pesquisas de Opinião: com um número suficientemente grande de entrevistados, a média das respostas se aproxime da opinião média da população
- Estatísticas de Medicina: ao garantir que 50% de pessoas estão imunes a uma doença, não quer dizer que 5 de 10 pessoas não vão pegar a doença. Essa porcentagem deve ser associada a um número maior, como cerca de 5000 pessoas a cada 10000 (50% de 10000).
E, sobretudo, é possível notar o poder desse Lei em cassinos.
Cassinos e a Lei dos Grandes Números
A Lei dos Grandes Números explica por que os cassinos sempre ganham dinheiro no longo prazo. Os jogos são projetados com probabilidades que favorecem a casa, ou seja, a probabilidade de o jogador perder é ligeiramente maior do que a probabilidade de ganhar.
Obs.: Essa probabilidade ocorre desde que o cassino consiga impedir que os jogadores de ‘blackjack’ contem as cartas. Veja o filme “Quebrando a Banca” para entender mais sobre esse assunto.
Por exemplo, na roleta francesa tradicional, existem 37 casas numeradas. Os jogadores podem apostar em qualquer uma delas, exceto na casa de número 0. Quando a bola para nessa casa, o dinheiro vai para o cassino.
Por consequência, o valor esperado na roleta é negativo, aproximadamente -2,7%. Além disso, o resultado de cada giro da roleta é imprevisível.
Todavia, de acordo com a Lei dos Grandes Números, após um grande número de rodadas, é garantido que a bola terá caído aproximadamente N/37 vezes em cada casa, incluindo a casa de número 0. Dessa forma, o lucro do cassino torna-se previsível.
Agora, associe diversas apostas em variados jogos, como caça-níqueis, poker, blackjack, roletas…
Enquanto alguns jogadores podem ter vitórias ocasionais, a estrutura probabilística dos jogos garante que, em um grande número de jogadas, a casa terá lucro.
Se forem feitas apostas suficientes por um período de tempo suficientemente longo, o cassino terá certeza de que ganhará mais do que perde.
Essa é a razão pela qual os cassinos conseguem ganhar dinheiro consistentemente ao longo do tempo, apesar de indivíduos ocasionalmente obterem ganhos significativos.
Falácia do Jogador
Além disso, outra noção equivocada relacionada à Lei dos Grandes Números (e que cassinos aproveitam) é o fenômeno denominado “Falácia do Jogador”. Essa falácia representa a ideia de que um evento tem mais ou menos probabilidade de ocorrer porque já aconteceu ou não recentemente.
Isto é, em casos que os resultados de um evento são aleatórios e independentes entre si, há uma falsa crença de que:
- Evento aleatório ocorreu recentemente → será menos provável de ocorrer novamente
- Evento aleatório ainda não ocorreu → pode ter uma maior maior probabilidade de ocorrer
Vamos ao nosso exemplo da moeda. Pense que está jogando cara ou coroa e, nos lançamentos, obtém cinco caras. A tendência é pensar que há uma maior probabilidade da próxima rodada resultar em coroa para “equilibrar” os resultados.
Todavia, lançamentos de moedas são eventos ALEATÓRIOS e INDEPENDENTES. Ou seja, cada evento (o lançamento em si) não depende do resultado anterior. Por isso, a probabilidade de obter cara ou coroa continua a mesma (50%).
De fato, essa falácia é uma ilusão poderosa, a qual pode estar presente em diversas situações do cotidiano. Inclusive, o nome dessa crença equivocada deriva da ideia de que um jogador, ao acreditar nessa falácia, pode tomar decisões com base em supostos padrões que não existem na realidade.
Como exemplo, vou citar casos de loterias e, novamente, dos cassinos.
Loterias
Apostadores de loterias, em sua maior parte, estão sujeitos à Falácia do jogador (lembre-se disso ao apostar na Mega-Sena).
Em seu estudo “‘The “Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play” (A ‘Falácia do Jogador’ em Jogos de Loteria, tradução livre), Charles Clotfelter e Philip Cook verificaram como o comportamento desse fenômeno influencia padrões de apostas em determinados números de jogos de loteria.
No estudo, eles revelam que há uma tendência clara de reduzir apostas em determinado número após tal número ter sido sorteado.
No entanto, em jogos de loteria, os números sorteados também são aleatórios e independentes. Cada sorteio não depende do resultado anterior.
Portanto, lembre-se da Falácia do Jogador ao fazer sua fezinha!
Cassinos
Em cassinos, a Falácia do Jogador pode ser encontrada em diferentes situações. Mas, para simplificar, veja o funcionamento de um caça-níquel.
Um caça-níquel moderno é computadorizado e seus prêmios são gerados por um gerador de números aleatórios. Cada “puxada” da manivela vai trazer resultados completamente independentes do histórico de tentativas anteriores.
Todavia, há muitos casos em que jogadores colocam grandes quantias de dinheiro em uma máquina — sem sucesso — impedindo jogadores de jogar nas máquinas que estão usando. Nesse caso, os apostadores estão convencidos de que uma grande vitória deve, logicamente, ser o resultado seguinte à sua sequência de perdas.
Para essa tática ser viável, o apostador deveria jogar um número ENORME (talvez até impraticável) de vezes para valer a pena o valor esperado.
Conclusão
Valor Esperado, Lei dos Grandes Números, Falácia do Jogador… Esses são apenas alguns termos que envolvem a probabilidade e a estatística. Há uma imensidão de conteúdos nessas áreas que são super interessantes e afetam a nossa vida mais do que imaginamos.
Mas, para finalizar, quero citar uma frase que li em um texto do IMPA, o qual deixei nas referências, que resume muito bem a proposta desse artigo. A frase foi citada pelo George Shaw, prêmio Novel da literatura em 1925:
“Quem faz um milhão de apostas [o cassino], enquanto o indivíduo só pode fazer uma ou duas, não corre nenhum risco financeiro, pois o que acontece em um milhão de apostas é garantido, ainda que ninguém possa prever o que acontecerá em cada uma delas”.
Com isso, espero que tenha entendido como cassinos usam a probabilidade e estatística para torná-los em negócios rentáveis.
Referências:
Estatística: o que é, para o que serve e como funciona
IMPA — O Segredo para Ganhar no Jogo
Khan Academy
O Andar do Bêbado
Probabilidade — Um Curso Moderno Com Aplicações
