Introducción al tratamiento de olas marinas con series temporales. Parte 2

En una primera entrega, se habló sobre las condiciones que se necesitan para asegurar las hipótesis para tratar olas marinas en aguas profundas con mo- delos aleatorios: la primera es gaussianidad, la segunda estacionaridad, se - guido por la trayectoria que sigue la ola y la ergodicidad. En este caso, habla- remos sobre las condiciones para obtener modelos en aguas poco pro -fundas, apoyado del teorema del limite central de la teoría de probabilidad.

Las olas en áreas de aguas relativamente poco profundas también pueden considerarse un proceso aleatorio gaussiano, si la severidad del mar es muy leve, una característica muy importante es que las fluctuaciones en el cambio de la energía suelen ser mas evidentes y pronunciadas. A continuación, vamos a considerar un perfil de una ola, cuya probabilidad de distribución del des- plazamiento, obedece a una distribución normal.

Supongamos que η es el perfil de ola en un tiempo fijo t una variable aleatoria definida en todo R. Podemos asumir que η es la suma de un gran número de componente Xi para i=1,…,n, es decir,

Donde Xi son variables aleatorias estadísticamente independientes con la misma distribución de probabilidad. Supongamos que la media de los Xi es cero y varianza σ² (segundo momento). Como los Xi para cualquier valor i son estadísticamente independientes, la distribución de η es desconocida en este estado, tienen media 0 y varianza σ² para n grande. Podemos estandarizar la variable aleatoria η con una nueva variable aleatoria Z como sigue:

sea φx(t) la función característica de X desconocida. Usando las propiedades de la función característica, la función característica de la variable aleatoria estandarizada como sigue

puede ser escrita de la ecuación (1) como sigue

(1.1) La función Z puede escribirse como

Por otro lado, la función característica puede ser expandida en serie de Taylor como sigue:

Dado que E[x] y E[x]^2 vienen de la variable aleatoria estandarizada son 0 y 1 respectivamente, luego (1.1) puede ser de la siguiente manera

Y por tanto, comparando con (2) y (4) nos queda que

Si n tiende a infinito, se tiene que

La cual es la función característica de la distribución normal estandarizada, lo cual implica que la variable aleatoria Z, obedece a una distribución normal, lo que comprueba que las olas en aguas poco profundas.