Perpetual Options

Published in

Decipher Media ｜디사이퍼 미디어

17 min readJun 3, 2023

본 게시글에서는 Paradigm에서 제시한 아티클들을 따라가며 옵션의 새로운 가능성인 ‘무기한 옵션’에 대해서 알아봅니다. 앞선 아티클에서 배운 ‘Option 101’ 내용을 바탕으로 이해하기 쉽게 내용을 구성하였습니다.

Author

Seojoon Bai

Reviewed By Yohan Lim, Sunghwan Ha, Chanwoo Park

들어가면서
만기 옵션의 문제점: 롤오버와 유동성 파편화
무기한 선물의 작동방법: 펀딩비 메커니즘
접근(1): Everlasting Options
접근(2): Power Perpetuals

1. 들어가면서

옵션을 명명할 때 포함되는 요소는 주로 기초자산, 만기, 행사 가격, 옵션 종류로 네 가지입니다. 대표적인 암호화폐 옵션 거래소인 Deribit으로 예시를 들자면, 글을 쓰고 있는 지금으로부터 10일 후에 만기가 도래하는 $30,000 행사가의 비트코인 풋옵션의 경우 ‘BTC 26MAY23 30000 풋’으로 불리게 됩니다.

출처: https://www.deribit.com/options/BTC/BTC-26MAY23/BTC-26MAY23-30000-P

무기한 옵션(Perpetual Options)은 무기한이라는 단어가 함의하듯 만기가 없는 옵션을 뜻합니다. 어떠한 새로운 상품이 등장하고 활발히 사용되기 위해서는 기존의 상품의 문제점이나 불편을 해결하거나 적어도 개선할 수 있어야 합니다. 그렇다면, 무기한 옵션은 기존 옵션의 어떠한 점을 해결하거나 개선할 수 있을까요?

2. 만기 옵션의 문제점 : 롤오버와 유동성 파편화

간단한 예시를 들어 전통적인 ‘만기가 있는’ 옵션이 가질 수 있는 불편에 대해서 이야기해보겠습니다. 투자자 A는 많은 ETH를 보유하고 있고, ETH의 현재 가격의 $2000이며 상승 추세에 있습니다. 누구도 어느 정도까지 가격이 오를 지 모르는 시장의 불확실성에서 A는 적어도 현재 가격인 $2000에는 ETH를 팔고 싶어합니다. 이 때 A가 취할 수 있는 전략은 $2000의 풋 옵션을 매수하는 것입니다. 이러한 방법은 ‘프로텍티브 풋’으로 알려져 있으며, 이는 가지고 있는 현물을 헷지할 때 쓰는 주요한 옵션 전략입니다. 이에 A는 한 달 후에 만기가 도래하는 ETH 2000 유러피안 풋을 매수합니다.

출처: https://www.investopedia.com/terms/p/protective-put.asp

한 달이 지나 만기가 도래했습니다. 여전히 ETH의 가격은 상승세에 있고, A는 풋을 행사하지 않기로 결정하였으나 아직도 $2000에는 ETH를 매도하고 싶어합니다. 따라서 A는 또 다시 행사 가격이 $2000인 풋을 매수하기로 합니다. 이렇게 만기가 도래한 포지션을 다시 잡는 것을 ‘롤오버’(Roll-over)라고 합니다.

그러나 롤오버에는 비용이 수반됩니다. 첫째는 스프레드입니다. A가 사용하는 옵션거래소의 마켓메이커는 매수할 때는 싸게, 매도할 때는 비싸게 파는 것을 수익원으로 삼습니다. 이는 호가창의 Bid-Ask 가격 차이로 나타나기도 합니다. 이에 A는 다소 비싼 값에 풋 옵션을 매수해야만 합니다. 둘째는 수수료입니다. A는 옵션을 거래를 중개해준 거래소에 일종의 수수료를 지불해야합니다. 롤오버가 한번만 일어나게 된다면 적은 비용일 수 있지만, 여러 번 일어나게 된다면 막대한 부담이 될 수 있고 한번만 일어난다고 해도 그것은 시장이 효율적이지 못해서 일어난 일이기에 바람직하지 않습니다.

A가 풋옵션을 사는 데 지는 부담은 롤오버 비용뿐만이 아닙니다. 1일, 일주일, 한달 등의 만기가 다수 존재하여 ETH 풋옵션 시장의 유동성은 파편화되어 있습니다. 적은 유동성은 옵션 가격이 ‘효율적인 시장 가격’보다 다소 비싸게 거래될 수 있는 가능성을 나타냅니다.

즉, A는 옵션에 만기가 존재하기 때문에 일어나는 롤오버와 유동성 파편화에 따른 비용을 자신도 모르게 부담하고 있는 것입니다. 전문적인 투자 대리인에게 맡기면 어떻게 될까요? 운용 수수료로 더 많은 비용을 지게 될 수 있기에 좋은 선택지는 아닐 수 있습니다.

만기가 없는 옵션이 도입될 경우, 투자자들은 롤오버 및 유동성 파편화에 따른 부작용없이 선택지를 고를 수 있게 됩니다. 그러나 만기가 없는 옵션의 경우, ‘만기가 없다’는 점에서 매도자에게 매우 큰 부담을 지게하고, 매우 비싼 값에 거래되어야 할뿐만 아니라 가격을 메기기도 쉽지 않습니다. 전통적인 금융에서는 개념상으로 Perpetual Option(XPO)이라는 것이 존재할뿐 이러한 상품이 특정 거래소에 상장되어 있지 않으며, OTC 거래도 활발하게 일어나고 있지는 않습니다.

그렇다면, 무기한 옵션이라는 것은 사고 실험에서나 상상할 만한 개념일까요? 무기한 옵션을 내놓는다고 해도 어떻게 가격을 메길 것이며, 어떻게 상품이 그 가격에 페깅(pegging)되게 할까요? 우리는 이미 비슷한 상품이 매우 활발히 거래되는 것을 지속적으로 목격하고 있습니다. 바로 무기한 선물입니다.

3. 무기한 선물의 작동방법: 펀딩비 메커니즘

전통적인 금융에서 활발히 거래되는 선물 상품으로는 나스닥, 원유 등이 있습니다. 선물 계약이란 미래의 특정 시점에 약정한 가격으로 기초자산의 인수 혹은 인도를 약속하는 계약을 뜻합니다. 무기한 선물은 ‘특정 시점’, 즉 만기가 존재하지 않는 선물 계약을 뜻합니다. 그렇기에 ‘기초자산의 인수 혹은 인도’가 일어나지도 않습니다. 따라서 엄밀히 정의하면 이는 계약이 아닌 스왑이라고 불러야 합니다.

앞서 만기가 존재하는 옵션의 문제점인 롤오버 비용이나 유동성 파편화는 만기가 존재하는 선물에도 동일하게 존재합니다. 특히, 콘탱고 혹은 백워데이션 상황에서 롱 혹은 숏 포지션의 롤오버를 지속하는 것은 막대한 비용이 될 수 있습니다. 따라서, 무기한 선물은 이러한 문제점을 해결하기 위해 등장했다고 생각할 수 있습니다. 그러나 무기한 선물은 만기와 인수ㆍ인도이 존재하지 않아 적은 비용으로 높은 레버리지를 사용할 수 있다는 점과 그 가격이 현물에 페깅된다는 점에서 그저 마진 거래를 파생화한 투기적 수단 혹은 도박에 불과하다는 의견도 존재합니다. 이러한 이유로 미국, 영국 등은 무기한 선물을 금지하고 있습니다.

또한, 무기한 선물을 거래하는 데에는 다양한 위험이 존재합니다. 첫째, 법적 보호의 부재입니다. 기본적으로 무기한 선물은 법적 보호의 대상이 아니기에, 이를 거래하면서 발생한 불공정한 사건에 대해 법적인 보호를 받을 수 없습니다. 둘째, 거래소 특정 위험입니다. 현재 다양한 거래소들이 무기한 선물을 상장하고 있으며, 개중에는 수익에 대한 출금을 막거나 시세 조종을 통해 청산을 발생시킨다는 의혹을 받는 거래소들이 다수 존재합니다. 셋째, 레버리지 거래에 대한 중독 가능성입니다. 기본적으로 자산을 거래하는 것은 도박적인 성질을 띄며, 중독될 경우 생활이 피폐해질 수 있습니다. 더군다나 높은 레버리지를 사용할 경우 더욱 중독성이 심하기에 주의해야 합니다.

출처: https://www.sedaily.com/NewsView/22IK0E6T99

그럼에도 무기한 선물은 암호화폐의 주요한 파생상품으로 상승장에는 하루에만 수백조원, 지금도 하루에 수십조원 규모로 거래되고 있습니다. 그러나 이러한 무기한 선물은 앞서 언급했듯 사실 어떠한 것도 담보하고 있지 않습니다. 롱 포지션을 가지고 있다고 해서 현물을 인수해야할 의무가 생기는 것도 아니며, 숏 포지션을 가지고 있다고 해서 인도해야할 의무가 생기는 것도 아닙니다. 그럼에도 지난 수년간 이러한 형태의 파생상품의 가격이 현물 가격에 이탈하지 않고 제대로 작동하고 있다는 것은 주지할 만한 사실입니다. (급격한 상승시나 하락시에 선물 가격이 이탈하는 경우가 있지만, 결국에는 돌아온다는 점과 크게 이탈하지 않는 측면에서; 작은 시가 총액의 코인들의 경우에는 크게 이탈하는 경우가 발생하기도 합니다)

흔히들 알고 있듯 무기한 선물은 펀딩비를 통해 현물과 가격을 맞춥니다. 그렇다면, 펀딩비는 정확히 어떤 구조로 무기한 선물 계약의 가격을 현물과 맞추고 있는 걸까요? 이를 이해하기 위해서 먼저 무기한 선물의 주요한 3가지 구성요소를 간단하게 설명하면 다음과 같습니다:

인덱스 가격(Index Price, I) : 현물 가격; 선물 가격이 패깅 되어야 할 목표 가격
시장 가격(Market Price, M) : 선물의 거래 가격
펀딩비(Funding Fee, F): 일정 시간 주기로 롱 혹은 숏이 상대 포지션에 1 계약 당 지불해야 하는 금액

위 구성요소를 토대로 무기한 선물이 목표하는 바는 ‘시장 가격을 펀딩비를 이용해서 인덱스 가격에서 이탈하지 않도록하는 것’입니다. 비유하자면 무더운 여름 날 현재 온도가 28℃이고 희망 온도가 18℃라면, 에어컨이 현재 온도를 희망 온도로 맞춰주듯 펀딩비가 그러한 역할을 하고 있는 것입니다. 다음으로는 가장 간단한 무기한 선물의 조정 방법을 예시로 들어 어떻게 가격이 맞춰지는 지 설명하겠습니다.

하루에 한번 펀딩비를 지불해야하는 무기한 선물 시스템을 가정하겠습니다. 펀딩비 지불 1초전인 현재 ETH의 현물 가격은 $1800(I)이고, ETH 무기한 선물의 가격이 $1900(M)이라면, 펀딩비는 정확히 M- I인 $100에 해당하며 롱이 숏에게 펀딩비를 지급해야합니다. 이때 펀딩비로 인해 1초 동안 롱 포지션을 닫으려는 압력과 숏포지션을 열려는 움직임이 합쳐져 가격이 조정됩니다.

물론, 제시한 모델은 언급했듯 가장 간단한 모델입니다. 실제로는 펀딩비 지불 시점 이전에 시장 참여자들이 이를 예측하기에 가격은 미리 조정되게 마련이며, 현실의 선물 거래소는 펀딩비를 계산할 때 다른 요소를 추가하기에 무기한 선물의 가격은 현물 가격보다 약간 높은 위치에서 거래되는 것이 일반적입니다. 또한, 가격이 빠르게 움직여 거래자가 청산당했음에도 담보로 이를 해결할 수 없는 경우 (즉, 반대 포지션의 잔고 증가보다 강제 청산당한 거래자들의 담보가 낮은 경우) 거래소 자체 보험 기금을 통해 보완합니다.

바이낸스 BTCUSDT PERP 펀딩비율, 출처: https://www.binance.com/en/futures/funding-history/perpetual/1

4. 접근(1): Everlasting Options

지금까지 펀딩비 메커니즘을 통해 무기한 선물의 가격이 어떤한 식으로 유지되는지 알아보았습니다. 이제 앞서했던 질문으로 돌아가 무기한 옵션의 가격을 어떻게 설정할지와 어떻게 그 가격을 유지시킬 것인지라는 두 가지 목표에 대해서 (1) Everlasting Option과 (2) Power Perpetual에 대해서 알아보겠습니다.

먼저, 첫번째 접근인 Everlasting Option에 대해서 소개하겠습니다. Everlasting Option은 무위험 차익거래 이득은 없어야 한다’ 조건과 펀딩비를 ‘시장가격 — 인덱스 가격’이 아닌 ‘시장 가격 — payoff’를 기준으로 삼는 메커니즘을 도입해 자동으로 롤오버가 되는 무기한 옵션을 도출해냅니다.

아래부터는 이를 도출해내는 과정을 증명과 함께 소개하겠습니다. 먼저 다음 용어를 알아봅시다:

결론부터 언급하자면, 위와 같이 정의하면 t_0(현재) 시점에서 Everlasting Option의 가격은

이 되어야 합니다. 이는

만큼의 가중치로 펀딩비가 지급되는 시점마다 만기가 오는 옵션들의 포트폴리오의 가격과 동일합니다.

만약, 상품의 가격이 이보다 낮다면 어떤 일이 발생할까요? 다음과 같은 과정을 반복해서 무위험 차익거래 이득을 수취할 수 있습니다. 시작하는 시점을 t = t_0이라고 가정하면

t= t_0
1. 수식에 해당하는 옵션의 모음을 공매도합니다.
2. 가정에서 수식보다 Everlasting Option의 가격이 낮다고 가정하였으므로,
공매도한 금액으로 Everlasting Option 1계약을 공매수합니다.

t = t_0 : 1 (1이 되기 직전)
3. 1/(1+펀딩빈도)에 해당하는 양 만큼의 무기한 옵션을 매도하고
시장가격/(1+펀딩빈도)에 해당하는 금액을 받습니다.

t = t_1
4. 가지고 있는 Everlasting Option 포지션의 규모가 펀딩빈도/(1+펀딩빈도)이므로
(시장가격- PAYOFF_t_1)/펀딩빈도에 해당하는 펀딩비를 지불합니다.
5. t_1에서 만기인 옵션을 공매도한 규모는 1/(1+펀딩빈도)이므로
PAYOFF_t_1/(1+펀딩빈도)를 지불합니다.

t = t_0:1과 t = 1 사이에 받은 금액과 지불한 금액의 합은 0으로, 이를 반복하면 t = t_0에서 공매수한 Everlasting Option과 공매도한 모음의 포지션을 비용 없이 소멸시킬 수 있습니다. 따라서, 둘 사이의 차액에 따른 이익은 위험없이 얻게되는 것입니다.

상품의 가격이 수식보다 높을 경우에도 비슷한 과정을 통해 무위험 차익거래 이득을 수취할 수 있습니다. 따라서, ‘무위험 차익거래 이득이 없어야 한다’는 조건 아래서 Everlasting Option의 가격은 수식에 수렴해야만 합니다.

5. 접근(2): Power Perpetuals

그러나 Everlasting Option을 실제로 구현하기에는 장애물이 있습니다. 참조할 짧은 만기의 옵션에 유동성이 적을 뿐만 아니라 충분히 존재하지도 않는다는 것입니다. 적은 유동성은 시세 교란의 가능성을 나타냅니다. 또한, 펀딩빈도가 높을 수록 무기한 옵션의 가격이 안정적이 된다는 점을 고려해야합니다. 예를 들어, 1일 3번의 펀딩빈도인 Everlsting Option을 구성한다고 했을 때, 8시간 단위의 옵션들이 필요하지만 그러한 옵션에 수요 자체가 적어서 존재한다고 하더라도 유명무실한 상황입니다. Deri Protocol에서 DODO의 PMM을 수정한 DPMM을 통해 Everlasting Option을 출시하였으나, 아직까지 성공적으로 이를 구현했다고는 보기 힘듭니다.

그렇다면 다른 대안은 없을까요? Everlasting Option아이디어에 인상을 받은 Wayne Nilsen과 llllvvuu가 동시에 Power Perpetual이라는 새로운 대안을 찾아냈습니다.

Power Perpetual이란 Power라는 단어에서 알 수 있듯 기초자산 가격의 n제곱을 따르는 무기한 파생상품입니다. Power Perpetual은 아래 그림과 같이 옵션과 비슷한 payoff를 제공하며, 단순히 n제곱을 따르기에 만기는 물론 행사가격까지 존재하지 않도록 합니다.

그러나 기초자산의 n제곱을 따르는 무기한 파생상품의 가격은 단순히 기초자산의 n제곱이 되어서는 안됩니다. Power Perpetual은 기초자산에 단순 레버리지를 하는 것에 비해 (1) 상승시 더 큰 이득 (2) 하락시에는 더 작은 손실과 기술적으로 청산 불가능 이라는 이점을 가지기 때문입니다.

Squeeth payoff, 출처: https://opyn.gitbook.io/squeeth-faq/squeeth/comparisons

이는 Power Perpetual의 기초자산 가격에 따른 payoff가 볼록성(covexity)를 가지는 데에서 기인합니다. 볼록성을 가진다는 것은 기초자산 가격이 상승함에 따라 Power Perpetual의 가격이 상승하는 비율, 즉 기울기가 증가한다는 것을 의미합니다. 단순히 x^n의 2계 도함수가 x>0 범위에서 항상 양수라는 점을 생각하면, 가격이 오를 때는 기울기가 높아지고, 가격이 떨어질 때는 기울기가 떨어져 앞서 언급한 Power Perpetual의 이점이 생긴다고 생각하면 이해하기 쉽습니다. (엄밀히 말하면, 현물이나 마진의 payoff도 볼록함수입니다. 그러나 본 글에서는 ‘볼록성을 가진다’는 의미는 강볼록한(strictly convex) 함수라는 뜻으로 사용했습니다.)

따라서 Power Perpetual의 매도자는 기초자산 가격의 n제곱보다 더 큰 리스크를 지게 되는 것입니다. 이에 가격은 기초자산 가격의 n제곱보다 더 비싸게 형성됩니다. 이때 차이에 해당하는 금액은 본질가치보다 일반적으로 더 높은 값으로 형성되는 옵션의 프리미엄과 동일하게, 매수자가 추가적으로 지급하는 볼록성 프리미엄이라고 볼 수 있습니다.

이때 볼록성 프리미엄은 얼마가 되어야할까요? ETH 가격의 2제곱을 따르는 Power Perpetual을 예로 들면, 무위험 수익률을 0이라고 가정하면 블랙숄즈 상 이 상품의 가격은 ETH² (exp(σ²))에 해당하게 되고, 볼록성 프리미엄은 ETH² (exp(σ²) — 1)이 됩니다. 이에 따라, 시장참여자들은 Power Perpetual을 거래하면서 옵션과 같이 변동성에 대해 거래하게 되는 것입니다.

그렇다면 어떻게 이러한 Power Perpetual을 무기한으로 구현할 수 있을까요? 펀딩비 메커니즘을 이용하여 볼록성 프리미엄을 펀딩 시점마다 롱 포지션이 숏 포지션에 지불하도록하는 것입니다. 즉, 인덱스 가격을 기초자산의 n제곱으로 두고, 일정 시간마다 시장가격과 인덱스 가격의 차이를 Power Perpetual의 매도자에게 지급하면 됩니다.

단순한 예시로 현재 ETH의 가격이 $3라고 가정하면, ETH의 2제곱 Power Perpetual의 인덱스 가격은 $9가 되어야 합니다. 이때 볼록성 프리미엄에 의해 가격이 $9.09에 형성될 경우, 시장 가격 — 인덱스 가격에 해당하는 금액인 $0.09를 롱 포지션이 펀딩비로 지불하도록 하면 됩니다.

Opyn은 이와 같은 내용을 바탕으로 ETH²를 따르는 파생상품인 Squeeth를 선보였습니다. Squeeth는 가격의 안정성을 위해 150% 이상의 담보를 바탕으로 ETH 가격의 2제곱(Squared ETH)를 따르는 ERC-20 토큰인 oSQTH를 민팅하여 위에서 설명한 펀딩비 메커니즘을 통해 거래할 수 있도록 하고 있습니다. 다만, 이는 컴파운드의 cToken 형태로 펀딩비가 주기적으로 oSQTH에서 빠져나가도록 설계되어, 설명한 Power Perpetual의 2제곱 상품보다는 가격이 낮아지게 됩니다.