來聊聊 Power Perpetual
來把 index² 當成選擇權交易
Intro
最近我們公司跟 Paradigm 合作的 Research 算是公開了，標題叫做 Power Perpetual，也是我們現在正在努力開發的產品。這個產品一直被我們稱為永續選擇權（Everlasting Option）的升級版，但我個人覺得從一個不同的角度來描述可以更精簡。這裏也附上 Paradiam 發布的正式版介紹連結，我覺得可以簡單看看就好，因為這篇文章基本上重點都放在該怎麼定價，我覺得關於「為什麼要這麼做」講得不夠多。所以今天就來寫個短篇介紹。
TLDR; 🤔
Power Perpetual 人如其名，就是把永續合約裡面的交易指數 (index)換掉，換成 index²，就完成了（也可以換成三次方之類的，但我只討論 index² ）。至於為什麼要這麼做，還有這麼做為什麼跟選擇權有關係，就是這篇文章的重點了。
為了更好解釋，我們再把上述對於商品的定義，拆成兩個部分介紹：
- 用 Perpetual Swap 交易一個指數 (index)
- 交易指數從 x 變成 x² 的意義
1.永續合約 (Perpetual Swap)
相信大家對於永續合約都有一定的認識。在永續合約裡面，系統透過一個指數當成輸入，配合 Funding 的機制，可以做出一個能讓人做多(Long)或做空(Short)該指數的市場，還可以做到槓桿。
簡而言之，只要系統隨便給一個數字，這個數字會漲跌起伏，就可以讓大家透過永續合約來做空或做多，進行交易。在 Power Perpetual 的設計中，永續合約也只是拿來當作 Execution layer，可以想像成拿來讓大家可以做空跟做多的平台，因此可以說，真正要實作 Power Perpetual，其實對於一個已經在做永續合約的團隊來說，只要把一個數字 x 改成 x² 就做完了。
（沒錯，我們現在就是在做一個陽春版的 Perp，只為了要交易 x²）
第一個部分這樣就講完了，可以把永續合約視為 Power Perpetual 的實作，至於真正交易 x² 的意義，就會比較有趣了。
2.交易 x² 的意義
今天，我們來試著用有一個很不「直觀」的角度來看金融商品，就是我們試著忘記什麼是選擇權（不管什麼是執行、什麼是履約價、什麼是到期日），而是只用一個金融商品的「價格」來看它。如果兩個商品對於 spot price 變動有一樣的價格曲線，我們就把它視為同一種商品。
以下我們全部討論 Long 的一方，例如今天如果現貨交易(spot trade)，那麼現價每漲一塊，就賺一塊，收益與現價變化的關係如下：
今天如果我們交易兩倍槓桿，收益就是漲跌幅的2x，可以想像我們現在交易的線變成了 y = 2x: 如果買在藍線上某個點，每次 underlying 漲一塊錢，我就賺兩塊；跌一塊錢就等於虧兩塊。
在接著畫 x² 之前，我們線稍微暫停一下，看一下選擇權的定價。
選擇權的定價
雖然選擇權的定價比較複雜，但還好我已經先寫了一篇關於選擇權定價的文章，有興趣的人可以從頭看起。我們這裡簡單擷取兩個重點：
(1) 買權的價格，在現價歸零的時候為0；高過執行價格越多，越接近現價減履約價。
(2) 價格會是一條 convex 曲線(斜率從 0 遞增至 1 )，而非像期貨或是現貨交易是一條直線。
我們直接帶入 black-sholes 公式，做個圖給大家看選擇權的價格如何變動：
(附上 Desmos 連結，讓大家可以玩一下這個圖)
我們可以發現，三條選擇權價格曲線的斜率(delta)都由 0 變到趨近 1 ，只是上升最快( gamma 最大)的時間點不同。
對於上圖黑線(strike price = 5)來說，幾乎整條線都是斜率為1，因為早在價格上升到6~7左右開始，這個選擇權就已經deep in the money，被執行的機率接近 100%，因此已經變成一條跟spot一樣無聊的直線。
大部分的人不太會去交易 deep in the money 或是 deep out the money的選擇權，因為 deep in the money 的選擇權的線就像上述的黑線，或是整張圖靠右的部分(現價很高的情況，所有買權都 in the money )，大家的價格變動就跟現價（紅線）一樣。Deep out the money 的情況則像是上圖左側：假如現在現價接近0，三個買權的價格都是0，斜率也接近為0，要一直等到現價稍微接近strike price時，才開始有價值。所以在真的 deep out the money 的一段時間內買了等於沒買。
所以選擇權交易者在意的是什麼？
在這個 scale 底下，最明顯有感的是綠色(strike price = 15)的線。他展現出了convex 曲線的特性，就是當現價在15塊附近的時候，每漲一塊你只會多賺半塊，但是隨著價格高於15越來越多，你最後可以享受跟spot price一樣的漲幅。而當價格往下跌的時候，隨著價格低於15越來越多，你的每單位損失也越來越少(在 spot price 低於 7 左右之後，你就不會再虧錢了，因為已經歸零)。
這樣的一個「每單位現價漲跌，我的單位收益 / 虧損也會變動」區間，也就是讓線條長得很像曲線的區間，可以被視為交易選擇權的「原因」。因為如果超出這個區間了，也就是這條線看起來就像直線了，那麼交易選擇權其實沒什麼價值，跟你用槓桿交易差不多（可以做到任何直線）。
這一個區間，用選擇權的術語來描述就是一個 gamma 明顯大於零的區間。gamma 比較淺顯的定義就是這樣一條線的「斜率變動率」，也就是我們剛剛畫的這類型的線的二階微分（一階微分為斜率、二階微分就是斜率的斜率）。這也是為什麼很多人會說，交易選擇權就是為了trade gamma。
好了，所以我們發現，如果大部分交易員，真正想做的事情是 trade gamma（這解釋了為什麼大部分市場 gamma = 0 也就是 deep in the money or deep out the money 的選擇權沒有人要交易）。那麼既然如此，那我們何不做一條永遠讓 gamma 不等於零的線給大家交易呢？這就是 x² 的由來。
最簡單的微積分
相信聰明的大家已經猜到，我們這裡在做的事情就是做一條曲線其gamma （f(x)二階微分）永遠大於零的線。而使用 y = x²就是最簡單的方法，其gamma = 2。我們來畫個圖。
這個圖有點難看，因為看起來跑太快了，我們隨便加一個scaling 在前面：
這樣就會發現，這條曲線在大約[10–20]這個區間內，跟綠線(選擇權價格)變得很像了吧。好處是，即使超出了這個區間，gamma還是一個固定的值，也就是他反而變得像 strike price 更高的選擇權的價格變動。
說了這麼多，要講的就這樣：
交易一條 y = x² 的曲線，可以製造出選擇權交易員真正需要的 gamma exposure。
或是想要聽起來聰明一點，也這樣「總節」這個產品說：
Squeeth is an always at-the-money eth option.
因為永遠有 Gamma，所以好像一個永遠價平的選擇權！
一些基本分析
看懂了「為什麼」之後，我這裡在簡單列出幾點有趣的點。
Pros
交易 Power Perpetual 相較於選擇權有幾個好處：例如我們不再會因為不同的到期日、履約價分割流動性，理論上流動性越好價格越好、市場也越健康。還有，需要長期 exposure 的交易者，也不再需要定期 rollover 他的倉位，這就像永續合約之於期貨，我們相信做鏈上產品這個，能減少使用者的操作成本很重要，因此沒有到期日是一個非常大的優勢。
Cons
壞處呢？我覺得也滿明顯的，就是會犧牲很多選擇權基本的 use case。由上面我們的推理不難看出，這麼做的理論依據來自於：交易選擇權都是為了這條收益曲線這個假設，也就是「大家都是因為 gamma 才交易選擇權」。
但大家都知道，選擇權最基本的定義就是一個有到期日的契約，什麼delta、 gamma，反而是大家先推出怎麼樣公平的定價選擇權之後，才訂出的一些參數。也就是說，這個產品其實不能反過來取代選擇權、或是被拿來做一些最基本的 use case：例如買「賣權」來當保險，以免拿到公司股票之前股票暴跌；或是某個人真的想要在未來某個時間點買入多少股，所以先買好買權… 等等。這些情境，反而很難利用「eth²」來做到。
所以說，這個產品只適合給為了 gamma 而交易的使用者，如果大家其實都真心需要用到選擇權才買賣，那麼這個產品就是一個超級難用的東西，或者說根本不會被用。所以我們做這個產品冒了一個「分割使用者」的風險，會不會因為use case變少，反而整體流動性更低呢？也是有可能的。
Funding
最後值得一提的點，就是關於 funding。在永續合約中，funding 是用來確保真正的「交易價格(mark)」跟「指標(index)」相符的機制。當 mark > index，long pays short；當 mark < index, short pays long。
在一般的 perpetual 中，funding 的期望值應該是 0，也就是偶爾 mark 會比 index 高，偶爾會比 index 低，但無論高或低如果差到太多，都會有明顯的套利機會把 mark price 代回一個合理的範圍。
今天如果我們改成交易 y =x² ，也可以套用一樣的funding規則，但是一個「理性」的市場應該會表現得跟傳統永續合約不一樣：應該永遠都會是long pays short，也就是 mark price應該永遠都會比 index price高。
直白的解釋：選擇權一向都是買家付權利金給賣家，所以 long pays short 很合理。
認真一點思考，其實這呼應了我們上一篇關於價格的介紹文末對於convexity的敘述：大家都想要一條 convex 曲線，因為越漲賺越多、越跌賠越少，因此你應該要付一個 premium 讓人跟你對賭(short eth²)。
直接舉個例，假如今天ETH price = 100，現在交易 eth² funding為零，也就是開一個 long position 不需要付任何費用，那麼我們可以套利如下：
- Long 1 squeeth (squeeth = eth², 價值 =100 * 100 = 10000)
- Short 200 eth
假如eth 漲到101，我總共會多賺一塊：
- long 1 squeeth = 101 * 101= 10201, (+201)
- short 200 eth = 101 * 200 = 20200, (-200)
如果eth 跌到99，我也是多賺一塊：
- long 1 squeeth = 99 * 99 = 9801 (-199)
- short 200 eth = 99 * 200 = 19800 (+200)
所以我們知道，沒有funding的話是不公平的，因此一個有效的市場中，它的mark一定會永遠高於index。而mark到底「理論上」是多少，就是開頭貼的那篇 Paradigm 原著努力在算的數學。
PS. 每天都要付錢給 short 方其實是一件還滿不小的開銷，以平均 140% 波動率來算，大約每天要付倉位總價值的 0.4%。
小結
這好像不算是一篇正式介紹 Squeeth 的文章，立意只是希望大家用一個「選擇權價格」的角度，來理解為什麼這個產品 makes sense。關於實作細節或是特別的機制也沒有講特別多，真的發現比較複雜的話就以後再說好了。祝我們成功把產品上線吧～
